请教数理达人

高一的时候曾做过一道关于物体下落求最大速度的题目，其中空气阻力是与速度成正比的。很容易知道空气阻力等于重力的时候，速度大到最大。那么在达到最大速度之前，物体下落的瞬时速度该如何求？我只是高中生，也没学过什么深奥的东西，只希望有高手指点迷津:hz1063:

非匀加速直线运动，印象里有公式的，是以e为底t为指数的指数公式？记不得了

v=gt

前提是自由落体。

===============================分割线=================================

当空气阻力与物重相等时，物体做匀速直线运动。当阻力小于物重时，物体做加速运动。

速度受空气阻力影响，但不受物重影响。

如果要把空气阻力也算进去，可能会麻烦很多，等等，我整理一下公式。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 孤鸿影 于 2011-5-7 23:02 编辑 [/i]][/color]

貌似没有公式……

刚整理了一下公式。如果把空气阻力算进去，就不是“重力加速度”了……所以自由落体公式不可用。

根据题设条件，空气阻力正比于速度，则根据牛二律空气阻力产生的加速度正比于速度
以向下为正方向，设比例系数为c，时间自变量t，则合加速度为
  a = g - cv
本质就是解一个常微分方程 v' = g - cv
换元也可以解，不过稍显不直观，因此两边求导把g去掉，解出a代入即可得到v
两边求导，常数g的导数为零，而加速度是速度的导数，则
  a' = -cv' = -ca
然后求关于t的函数a，因为 (logy)' = y'/y，换元得
  (loga)' = -c
根据基本的微分知识，
  loga = -ct + B, B是任意常数
因此
  a = exp(-ct+B), B是任意常数
记A=exp(B)，则
  a = A * exp(-ct) ，A是任意正常数
代入 a=g-cv 就得到
  v = [ g - A * exp(-ct) ] /c
根据边界条件解出常数A得到唯一解：若记从静止开始下落的时刻为t0，则A由 g - A*exp(-ct0) = 0 解出

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一开始忘了边界条件，就是那个常数A......
才八九年不碰微分方程就犯这样初学者的错误.......

[color=Silver][[i] 本帖最后由 SkyGrasper 于 2011-5-8 11:35 编辑 [/i]][/color]

回复 #5 SkyGrasper 的帖子

貌似高中生不学微分吧。。。

印象中，微积分好像是。。。高等数学中研究函数的微分、积分的数学分支。。。

高中只涉及到导数初步，所以五楼的看不懂:hz1026:

我只是提供一个可能的解法，如果有初步微积分知识这大概也是最简单最直观的解法
高中物理讲的力学里就有些东西本质上要用微积分，只是巧妙地躲过去了
当然，假如存在不使用常微分方程的解法那自然更好
既然看不懂再加点文字说明，至少把思路描述一下

如果是高中竞赛题，就有可能会用到微积分了。
话说我也只能用微积分做出来

回复 #5 SkyGrasper 的帖子

5 楼答案明显不对，阻力 F = 1/2*C*σ*A*v^2。这里，C 是阻力常数，σ 是空气密度，A 是载面积，v 是速度。其中比较重要的，阻力和速度平方成正比的。所以在你列方程的时候，列一个线性方程就列错了，减也应该减 v^2 才对。而且，你那个一阶线性方程的解法也不对，应该用到[url=http://www.cse.salford.ac.uk/profiles/gsmcdonald/H-Tutorials/ordinary-differential-equations-integrating-factor.pdf]积分因子[/url]＝e^{\int c dt} 的。

我估计这应该是到竞赛题目，高中物理题可恶之处就在于，很多时候最终需要知道的公式拿微积分很容易就推出来，但那个公式本身需要你自己背。所以说也可能这里用微分方程最后推出的公式很简单（那才是你应该背的），但是我实在是懒得推了。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 颖颖 于 2011-5-27 01:54 编辑 [/i]][/color]

LS威武~ 早忘得一干二净了。。