2011-4-4 19:36
Mitchell
球体体积与半径问题
[size=3]已知条件：
球体的体积计算公式为：V=4πr³/3；
A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)+6。[/size]
【question】某球体的体积与半径恰好符合关系式A=6B/(6B+99)+6，此时A与B的值分别是……？
【prompt】[color=red]原题中，A对应体积，B对应半径。[/color]
[color=blue]题目中有两个方程，一个是二元三次方程，另一个是分式方程。很明显，直接解是解不了的。
但我们不难发现，两个方程的左边都等于A，因此两个方程可以直接合并为一个方程：4πB³/3=6B/(6B+99)+6。
有的朋友可能会说：“这样不是更乱了吗？”但是，一旦两个方程合并为一个方程，就可以很容易地变形了！
变形第一步：化分式方程为整式方程，方程的每一个项都乘以6B+99，结果得到8πB^4+132πB³=42B+594
变形第二步：移项(把未知数B全部移至方程左边，常数项全部移至方程右边)，得到8πB^4+132πB³-42B=594
现在我们得到了一个一元四次方程，只要你会解一元四次方程，就会解这一题。都提示到这份上了……[/color]
[color=red]【key to the question】A=6.06416...... B=1.13126......(此答案为正解的小数形式，供对照参考)[/color]
[color=green]【拓展】[color=red]从数学到物理[/color]
已知条件：
球体的体积计算公式为：V=4πr³/3；
A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)+6；
question：
一个装满了水银的玻璃球体容器的容积为90cm³，此玻璃球的总质量与其厚度恰好符合关系式A=6B/(6B+99)+6。求此时A与B的值。[/color]
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 22:34 编辑 [/i]][/color]
2011-4-4 20:02
墨叶
爲什麽有英語。
一元二次方程組。
2011-4-4 20:08
Mitchell
回复 #2 墨叶 的帖子
这可不是一元二次方程组。
从球体体积公式中可以得出一个二元三次方程，从函数关系式来中可以得出一个分式方程……
球体的体积计算公式已经接近高等数学了……
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-4 21:38 编辑 [/i]][/color]
2011-4-4 22:28
Mitchell
原题目有问题，“A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)”应该是“A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)+6”
已更正！~~本题目答案唯一。
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-4 22:29 编辑 [/i]][/color]
2011-4-4 22:31
KYOKO
不管几次方程我看还是解（不定？）方程组。。:hz1019:
2011-4-4 22:37
Mitchell
回复 #5 KYOKO 的帖子
我已经用几何画板绘制过这两个函数图像，有且只有一个交点，只是这里无法上传图片。
本题若直接解方程组，可能得不到正解……
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-5 15:24 编辑 [/i]][/color]
2011-4-5 15:29
Mitchell
顶起！没有人会解这一题吗？…………:hz1017:
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 23:57 编辑 [/i]][/color]
2011-4-5 16:31
托塔李天王
解题者将给予一定TB奖励。
出题者视题目质量也有TB奖励。
2011-4-5 19:42
3_141592653589
额，直接代入的话得到关于r的一元四次方程，我印象里四次方程是有公式解的吧
2011-4-5 21:20
KYOKO
一元三次以上方程没有公式解
2011-4-5 21:27
Mitchell
回复 #10 KYOKO 的帖子
本题有正确答案，且答案唯一。努力思考吧！
#1已给出了正确答案的小数形式，不至于还要我把N次方根形式的式子发上来吧……
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-5 21:31 编辑 [/i]][/color]
2011-4-6 02:47
周瑜
楼主的题目说的不清楚，A和B哪个是体积，哪个是半径？
2011-4-6 13:07
sunnybill
看楼主给的答案的话应该是a是体积，B是半径，并且在非负数区间里会有唯一解。但是目前还没想出来怎么求解析解。
暂时的思路是，对一元四次方程进行因式分解，形成两个一元二次方程，一个有一对共轭解，一个有两个解，一正一负，正解即是解析解。
但是还没分解出来。
2011-4-6 18:15
Mitchell
回复 #12 周瑜 的帖子
原题目中有这样一句话：“某球体的体积与半径恰好符合关系式A=6B/(6B+99)+6”，
按照我们正常的理解，句子前后的顺序是一致的，即[color=red]A对应体积，B对应半径(于2011年4月6日18∶58补充至#1)[/color]。
数学是编程的基础，周大哥哥应该会解这一题的。
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-6 19:02 编辑 [/i]][/color]
2011-4-6 18:22
Mitchell
[quote]原帖由 [i]sunnybill[/i] 于 2011-4-6 13:07 发表
看楼主给的答案的话应该是a是体积，B是半径，[color=red]并且在非负数区间里会有唯一解[/color]。但是目前还没想出来怎么求解析解。
暂时的思路是，对一元四次方程进行因式分解，形成两个一元二次方程，一个有一对共轭解，一个有两 ... [/quote]
这位朋友用的是费拉里公式，如楼下孝直兄所说，但本题除了用费拉里公式，还可以用其他方法来解。
提示各位解题者：
若将两个函数图像画在坐标系中，会发现它们只有一个交点，这个交点在第一象限内。
A=4πB²/3
也就是说，[size=5]｛[/size]A=6B/(6B+99)+6[color=red](不支持方程组输入……)[/color]，这个方程组的解就是本题的答案。
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 21:59 编辑 [/i]][/color]
2011-4-7 00:56
阿尔法孝直
LZ是不是在考大家费拉里公式的应用？
2011-4-7 13:13
SkyGrasper
[quote]原帖由 [i]KYOKO[/i] 于 2011-4-5 21:20 发表
一元三次以上方程没有公式解 [/quote]
这听谁说的...
Tartaglia死不瞑目...Galois死不瞑目......
[color=Silver][[i] 本帖最后由 SkyGrasper 于 2011-4-7 13:46 编辑 [/i]][/color]
2011-4-7 18:21
Mitchell
[quote]原帖由 [i]阿尔法孝直[/i] 于 2011-4-7 00:56 发表
LZ是不是在考大家费拉里公式的应用？ [/quote]
费拉里公式几乎成了解四次方程的基本方法、常用方法，但本题不一定要用费拉里公式。如果孝直兄会解这一题，就请跟帖解答吧。
[size=5][color=red]该问题回答正确有TB奖励。[/color][/size]
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 22:02 编辑 [/i]][/color]
2011-4-8 21:11
托塔李天王
鼓励原创，本题暂定为A级吧，根据版规奖励楼主50TB。
解出该题奖励200TB，楼主奖励另计。
2011-4-8 23:35
Mitchell
回复 托塔李天王 版主 的帖子
多谢版主！
我来轩辕尚未超过一个月，就得到了通宝奖励。:hz1048:
今后我会更加努力的！~~o(∩_∩)o ~~
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 23:36 编辑 [/i]][/color]
2011-4-8 23:53
Mitchell
我在#1已给出提示。
本题看上去好像很复杂，其实通过方程组合并及方程的变形，可以得到一个一元四次方程。
我想，著名的费拉里公式各位一定都知道，通过公式(不一定是费拉里公式)可以解出该题(虽然有点麻烦)。
[color=blue]如版主所说：根据本版版规，答对A级原创题者可获得200通宝。[/color]
[color=red]【最后补充】
#13 sunnybill 说得很对，一开始我没有仔细去看，在此表示道歉！[/color]
[color=Silver][[i] 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 23:54 编辑 [/i]][/color]
2011-4-11 10:56
zhouhuan
这题就是难在解四次方程上:hz1026: