1089

给大家演示一个现象：
1，取任意一个三位数（首位可以允许是 0），它的“反数”是那个把它倒过来写的三位数。例如，取 325，它的反数是 523。
2，我们计算这个数字和它反数差的绝对值：|325 - 523| = 198.
3，然后再把 2 的答案，和它的反数相加：198＋981＝1089.
如果任意一个三位数，执行完 1－3 之后等于 1089 的话，我们称这个数字有 1089 性质。例如，325 就有 1089 性质。

问题：找出所有没有 1089 性质的三位数（需附带证明）。
悬赏：1089 通宝。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2010-9-4 09:58 编辑 [/i]][/color]

设3位数为100x+10y+z

Abs((100x+10y+z)-(100z+10y+x))=Abs(99(x-z)),(Abs(x-z)∈[0,9])
={0,99,198,297,396,495,594,693,792,891}
反数：{0,99,891,792,...,198}
相加：{0,198,1098,1098,...,1098,1098}
那么，当Abs(x-z)为0或1时，相加不是1098
这些数有：000,001,010,011,...,0n0,0n1,...,090,091
100,101,110,111,...,1n0,1n1,...,190,191

回复 #2 阿尔法孝直 的帖子

这个貌似有问题啊。。。例如 n = 100, x = 1, y = 0, z = 0（abs(x-z) = 1）. n’＝001，n-n'＝99. 但 99+990 = 1089.

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2010-9-4 10:20 发表
这个貌似有问题啊。。。例如 n = 100, x = 1, y = 0, z = 0（abs(x-z) = 1）. n’＝001，n-n'＝99. 但 [color=Red]99+990 = 1089[/color]. [/quote]

你的题目没有说差的绝对值一定是三位数，所以100-001=99,99的反数我认为是99，而不是990。


------------------------------------------------------------------------------------------

如果按照宫主的解释的话，最后的结果就是：000,010,020,...,0n0,...,090。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 阿尔法孝直 于 2010-9-4 10:27 编辑 [/i]][/color]

回复 #4 阿尔法孝直 的帖子

编号： 48221        操作： 汇款         金额： 1089 通宝        操作时间： 2010-9-4 10:38         对方用户名：阿尔法孝直

[quote]原帖由 [i]阿尔法孝直[/i] 于 2010-9-4 10:09 发表
设3位数为100x+10y+z

Abs((100x+10y+z)-(100z+10y+x))=Abs(99(x-z)),(Abs(x-z)∈)
={0,99,198,297,396,495,594,693,792,891}
反数：{0,99,891,792,...,198}
相加：{0,198,1098,1098,...,1098,1098}
那么 ... [/quote]
我也正准备用函数如此计算……

----------------分---割---线---------------------------

公主， 如果不等于1089自然会等于其它数，那这1089又有哪些特别的地方呢？9的倍数、……？

　　还记得以前有个１０３７的题目。。

回复 #6 洋过 的帖子

幸好1089这个数我有印象，我很清楚的记得1089是33的平方。

还有更好的证明办法吗？

有位大师说过，好的证明应该是一首诗，而不是一本电话簿。穷举法不到万不得已不用啊。

回复 #8 dimeterio 的帖子

我在这方面倒是一个 functionalist。。。只要有效，电话薄和诗词对我没区别。

任意一个三位数和它反数差的绝对值为99的倍数，且为百位数和个位数之差的99倍。
当这个数不是0时，这个数与它的反数之和为 1089 。

所有没有 1089 性质的三位数为百位数和个位数相同的数。

[quote]原帖由 [i]阿尔法孝直[/i] 于 2010-9-4 10:09 发表
设3位数为100x+10y+z

Abs((100x+10y+z)-(100z+10y+x))=Abs(99(x-z)),(Abs(x-z)∈)
={0,99,198,297,396,495,594,693,792,891}
反数：{0,99,891,792,...,198}
相加：{0,198,[b][color=Red]1098,1098,...,1098,1098[/color][/b]}
那么 ... [/quote]
1098？1089？

[quote]原帖由 [i]阿尔法孝直[/i] 于 2010-9-4 10:23 发表
你的题目没有说差的绝对值一定是三位数，所以100-001=99,99的反数我认为是99，而不是990。
------------------------------------------------------------------------------------------
如果按照宫主的解释的话，最后的结果就是：000,010,020,...,0n0,...,090。[/quote]
呃，是x-z=0，不是x=0并且z=0吧。
所以应该所有x和z相等，也就是反数等于他本身的都可以啊。

比如121，反数就是自己121，差就0，差的反数也是0，和是0，不是1089

列举一下就是：

000，010，……0n0，……，090
101，111，……1n1，……，191
.
.
.
m0m，m1m，……mnm……，m9m
.
.
.
909，919，……9n9，……，999

通式就是：mnm，其中m,n∈[0,9]
一共100个。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 金圭子 于 2010-9-8 17:08 编辑 [/i]][/color]

回复 #11 金圭子 的帖子

很详细。

对阿尔法孝直拿全部1089的红包表示不满。

编号： 48285 操作： 转帐 金额： 1089 通宝 操作时间： 2010-9-10 00:30 对方用户名：墨叶

回复 #13 阿尔法孝直 的帖子

客气了。
我把钱分3份了，大家一起分了吧。

编号： 48287 操作： 汇款 金额： 363 通宝 操作时间： 2010-9-10 07:30 对方用户名：金圭子
编号： 48286 操作： 汇款 金额： 363 通宝 操作时间： 2010-9-10 07:29 对方用户名：阿尔法孝直

谢谢两位，记得以前在轩辕春秋的时候就是钱常常推来推去，最后都给银行拿了……
还好我当时不发红包不散财……

（在铁血丹心待惯了，身上有点钱就存起来……）

:hz1029:看了这个帖子，我起码知道了什么是反数~

反数这个名字是出题的人起的吧……
这个属于private定义（笑），这种定义只有在本题中才成立。

真正的反数应该是这个吧：
[url]http://baike.baidu.com/view/1282095.htm[/url]