世界杯球星卡

几个月前，我买了一盒世界杯球星卡，也许是我运气不好，8张卡片中只认识一个纳尼，因此突然想到一个问题：

球星卡总共有640张，每一盒里包含随机组合的8张不同的球星卡，每张卡片出现的概率相等。求为了凑齐全部640张，需要购买卡片盒数的期望值。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 周瑜 于 2010-9-8 11:10 编辑 [/i]][/color]

纯理论的说，你买多少盒也不行，总有凑不齐的可能性。

你得加设两个条件，凑齐百分之几可以满意，和买多少盒能够接受。

求的是期望值，也就是平均值，指的是运气不好也不坏的情况。

支持二楼说法。前些日子为了积攒《三国杀》神武将，买了远比期望值多的多，还是没有攒全。

回复 #4 颖颖 的帖子

厂家又不是平均生产的，就是为了引你这样的人上钩，公主这样的智商咋就不明白呢？

回复 #5 KYOKO 的帖子

所以我严重怀疑《三国杀》神武将并不是 uniformly distributed，同理，楼主想积攒的那个恐怕也不是。大家算出来的值对你什么用都没有。

[quote]原帖由 [i]颖颖[/i] 于 2010-8-14 01:27 发表
所以我严重怀疑《三国杀》神武将并不是 uniformly distributed，同理，楼主想积攒的那个恐怕也不是。大家算出来的值对你什么用都没有。 [/quote]
2点还在??嘿嘿.

为什么没有人来做题呢？我在这里把题目简化一下吧。

假设每盒卡片只有1张，那么收集全部640张平均需要购买多少盒？这个问题能算出的话，稍稍改进一下也能答出一盒8张的问题了。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 周瑜 于 2010-8-17 14:36 编辑 [/i]][/color]

有什么奇怪的，颖颖是在澳洲，时差问题。本朝2点的时候那里正是晚上八九点，在线很正常。

回LS，假设每盒一张，至少需要购买640盒:hz1026:

公布答案

没有人来答题么，我这就公布答案了。

先考虑简化版的题目，每盒只有一张卡片。定义以前未收集到的卡片为新卡片，那么，显然买第一盒的时候能获得一张新卡片。

买第二盒时，有 1/640 的概率碰上与第一盒相同的卡片，有 639/640 的概率获得一张新卡片，换言之，收集一张卡片后，期望再买 640/639 盒就能收集到第二张卡片。
同理，收集两张卡片后，再买一张卡片 638/640 的概率获得一张新卡片，即收集到第三张卡片所期望购买的盒数为 640/638 。
......
收集 i 张卡片后，再收集第 i+1 张卡片所期望购买的盒数为 640/(640-i)
收集最后一张卡片所期望购买的盒数为 640/1

因此，简化版题目的答案是 ∑(i = 0 to 639) 640/(640-i) = 4505.2575282


再看原题：

设卡片总数为 N ，每盒有不同卡片 k 张，则本题中 N = 640，k = 8
令 p(x) 表示收集到 x 张不同卡片后，为了全部收齐还需要购买盒数的期望值。
易知 p(N)=0， p(0) 为所求答案，p(0) = p(k)+1 ，可由 p(N) 逆推 p(k)，进而求得 p(0)。

假设某时刻已收集 x 张卡片，那么再买下一盒之后可能收集多少张呢？
最坏的情况，下一盒的所有卡片都在以前 x 张中出现过，那么此时的收集数仍为 x 张。
最好的情况，下一盒的所有卡片都不在以前 x 张中出现，或买入下一盒将收集满全部卡片，那么此时的收集数为 min(N, x+k)
令 y = min(N, x+k)

下文中 C(n, m) 表示 n 中选 m 的组合数，其值为 n!/(m!(n-m)!)
由上，收集 x 张卡片后新买一盒可能增加的卡片数在 0 到 y-x 之间。设新增卡片数为 i ，则其概率为：
q(i) = C(x, k-i) * C(N-x, i) / C(N, k)
即在已收集的 x 张中选出 k-i 张，未收集的 N-x 张中选出 i 张。

然后，根据条件期望，可得出：
p(x) = ∑(i = 0 to y-x) q(i)*(1+p(x+i))

最后，代入N=640，k=8，解方程逐步求出 p(N-1) 到 p(k) 所有值，最终结果为 560.5076664

[color=Silver][[i] 本帖最后由 周瑜 于 2010-8-24 13:12 编辑 [/i]][/color]

哇咔咔，老六还是一如既往的BT啊，现在在哪呢，还在美国么

[quote]原帖由 [i]颖颖[/i] 于 2010-8-13 21:32 发表
支持二楼说法。前些日子为了积攒《三国杀》神武将，买了远比期望值多的多，还是没有攒全。 [/quote]
关键神武将出现的几率是多少？
我买了一组风、火、林，三个包加起来就一个神吕蒙。
甚至火包居然还少了个典韦（是不是因为有颜良文丑，所以少算了一个？）


至于楼主的问题，我记得在学校的时候就对这个题目不理解（概率学上其他的题目我都很好理解，但是就这个不理解），所以不做答了不好意思……

低调攒RP，反正从80到正无穷

回复 #12 金圭子 的帖子

估计你买到盗版了，火包的八个普通武将是荀彧，典韦，卧龙诸葛亮，庞统，太史慈，袁绍，庞德，颜良文丑。
风，火，林每个包只可能出现2种神将。风包是神关羽和神吕蒙，火包是神诸葛亮和神周瑜，林包是神曹操和神吕布。
最好的情况是各包各买两次获得。
如果每个神将官方的制做的数量一样的话（不可能的吧？），买7.5次获得6神。

[quote]原帖由 [i]3943169[/i] 于 2011-1-18 14:25 发表
估计你买到盗版了，火包的八个普通武将是荀彧，典韦，卧龙诸葛亮，庞统，太史慈，袁绍，庞德，颜良文丑。
风，火，林每个包只可能出现2种神将。风包是神关羽和神吕蒙，火包是神诸葛亮和神周瑜，林包是神曹操和神吕布。
最好的情况是各包各买两次获得。
如果每个神将官方的制做的数量一样的话（不可能的吧？），买7.5次获得6神。[/quote]
前面你说的我知道，不过神武将是一定有么，不可能缺？
至于缺人的那个，我真怀疑是买到盗版了……这个怎么查啊……

回复 #15 金圭子 的帖子

也有一些版的风火林是没有神将，不过有一张闪卡。而这些闪卡是包括标准+风火林的任意一个武将。
按照楼主的理论：
每盒只有一张闪卡。定义以前未收集到的闪卡为新闪卡，那么，显然买第一盒的时候能获得一张新闪卡。

买第二盒时，有 1/55 的概率碰上与第一盒相同的闪卡，有 54/55 的概率获得一张新闪卡，换言之，收集一张卡片后，期望再买 55/54盒就能收集到第二张闪卡。
同理，收集两张闪卡后，再买一张闪卡 53/55 的概率获得一张新闪卡，即收集到第三张闪卡所期望购买的盒数为 55/53。
......
收集 i 张闪卡后，再收集第 i+1 张闪卡所期望购买的盒数为 55/(55-i)
收集最后一张闪卡所期望购买的盒数为 55/1
后面自己算吧。

至于辨别真伪吗，拿卡在亮光下卡，如果能看出网格的话就是正版。当然，此方法不限闪卡。