只在无理数上连续的函数

大家一起来找一个实变量函数 f, 满足：
１，f 在无理数上连续
２，f 在有理数上不连续。

再问，是否存在一个 f，满足：
１，f 在有理数上连续
２，f 在无理数上不连续？

回复 #1 颖颖 的帖子

如果是“不处处连续”而非“处处不连续”

第一个：
f(x) = sgn(x), x为有理数
      1, x为无理数

第二个：
f(x) = 1, x为有理数
      sgn(x-sqrt(2)), x为无理数

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此解答将题中叙述的“有理数上”，“无理数上”理解为对函数的定义域限制

[color=Silver][[i] 本帖最后由 muzhi 于 2010-4-30 00:54 编辑 [/i]][/color]

回复 #2 muzhi 的帖子

不好意思。。。第一题要求是，在有理数上“处处不连续”且在无理数上“处处连续”。第二题要求是，在无理数上“处处不连续”且在有理数上“处处连续”。

又看了一眼，发现前面回的不对，现增加注释

即使补上“处处连续”的字样，问题描述仍不清楚:
什么叫“在有理数上”，“在无理数上”？
是判断连续性时对函数的定义域限制还是“在所有有理数处”，“在所有无理数处”？
既然讨论数学，还是得用数学语言，我前面也草率了

前者的话用狄利霍莱函数很容易构造
后者的话因为自身知识储备不足放弃进一步研究

回复 #4 muzhi 的帖子

狄利霍莱函数是虾仁东东？

回复 #5 颖颖 的帖子

笔误

狄利克莱（Dirichlet）

回复 #6 muzhi 的帖子

差不多是那个意思。。。f(x) = 0 如果 x 无理数，f(x) = q, 如果 x 是有理数，且 x=p/q，p, q 为整数。

此函数图形如下：

[img]http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DirichletFunction_1000.gif[/img]

大家看象不象一个果园？