有趣的小题目——尺规作图画三角形

任何一个三角形都有三条边~那么可以依据这三条边做出三个正方形~然后正方形有中心~所以可以得到三个中心~

题目1：任意画一个三角形，然后用尺规作图画出三个正方形的中心（白痴题~）
题目2：把原来的三角形和画出来的正方形擦掉，只留下三个正方形的中心（就是纸上现在只有三个点了……）请用尺规作图把原来的三角形画出来~

……反正我不但做不出来，连解答都看不太懂就是了……

这个答案是否唯一,还不知道,感觉很难

第一道，作三边中垂线再截取和每边一半相等的长，交点就是中心
问个问题：是向外作正方形还是向内作正方形？

恩~是向外作正方形~这个我没说清楚~

初步想法 用解几研究一下关键点位置关系看看...try

令原三角形三点坐标为（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）

令三正方形中心分别为A（xa,ya）、B（xb,yb）、C（xc,yc）

则xa=1/2(x2+y2+x1-y1)
   ya=1/2(x1+y1+y2-x2)
通过置换 类似地
   xb=1/2(x1+y1+x3-y3)
   yb=1/2(x3+y3+y1-x1)

   xc=1/2(x3+y3+x2-y2)
   yc=1/2(x2+y2+y3-x3)
解得
   x2=xb+yb+xa-ya
   y2=xa+ya+yb-xb
   ...

类似地 解出所有位置关系 取平面上任意点作直角坐标系 则三中心到坐标轴距离可截取 用尺规划弧法截取定距离求出三顶点 然后连成三角形

ms有点无耻:P

[[i] 本帖最后由 青木风亮 于 2008-1-1 03:15 编辑 [/i]]

……我其实这么做过~但是~好像是算出来也没意义的~

:qoo+不要好像

为什么没意义？

[quote]原帖由 [i]青木风亮[/i] 于 2008-1-1 02:16 发表
初步想法 用解几研究一下关键点位置关系看看...try

令原三角形三点坐标为（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）

令三正方形中心分别为A（xa,ya）、B（xb,yb）、C（xc,yc）

则xa=1/2(x2+y2+x1-y1)
   ya=1/ ... [/quote]
诶~~~解析几何是无敌的。。

是这样的~算出来和用尺规画出来还是有一定距离的……

其实更重要的是我算不出来~

另外，xa=1/2(x2+y2+x1-y1)是什么意思？

你没懂我的意思啊 尺规作图不就是用圆规取点和距离吗 能过点作一条直线垂线不就可以取距离吗 然后在直线上用圆规画弧作代数运算好了

[quote]xa=1/2(x2+y2+x1-y1)[/quote]
就是中心a的横坐标由1，2两个顶点的坐标决定 再反过来就可以推算出用中心的坐标求出三角形顶点的坐标 就是一种映射关系 也许可以用矩阵之类的东西表达 不过我没学过:q))+

我承认这个方法是取巧 把代数映射关系转化成欧氏几何的方法 我没想到:P 研究一下平几定理好了 要不你直接贴答案大家参详 或者等待高人解答...

不好意思 算错了 由中心推顶点 a、b、c为中心 xa,ya...为已知量

x1=yb-yc+xa
y1=xc-xb+ya
...(按b->a c->b a->c置换)
x2=ya-yb+xc
y2=xb-xa+yc

x3=yc-ya+xb
y3=xa-xc+yb

等下用flash验证

设原三角形为ABC

以AB为边作的正方形中心为P

以BC为边作的正方形中心为Q

以CA为边作的正方形中心为R

可以证明：
AQ与PR垂直且相等

BR与PQ垂直且相等

CP与QR垂直且相等

所以，如果已知三角形PQR，尺规作出三角形ABC的方法如下：
过Q作直线垂直于PR，然后在靠近PR的一边取点A使得AQ=PR
这样就得到所要的A点
B、C类似作出