类似的等式大家能找几个？

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 24^2 = 70^2.

[color=Silver][[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2010-1-26 19:40 编辑 [/i]][/color]

3^2+4^2=5^2  这个不知算不算类似

另外楼上的3^3似乎是笔误吧

7^0+7^1+7^2+7^3=20^2

这个算不?

都算都算，大家一齐想，弄出一个名单好玩。

X^3+Y^3=Z^3怎么证明不存在自然数解???

[quote]原帖由 [i]KYOKO[/i] 于 2007-7-21 14:06 发表
X^3+Y^3=Z^3怎么证明不存在自然数解??? [/quote]
抱歉,费马大定律暂无证明

[quote]原帖由 [i]霸王高宠[/i] 于 2007-8-5 18:26 发表

抱歉,费马大定律暂无证明 [/quote]
晕，有了吧，大哥，初中书上都说有了。（我同学还说，费马这家伙，根本不配叫数学家，只会提猜想，还要别人给他证）

ls的请注意措辞

根据1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/6  *n*(n+1)*(2n+1)可知，所求N必须满足1/6  *n*(n+1)*(2n+1)为完全平方数。设1/6  *n*(n+1)*(2n+1)=k^2
用EXCEL算了下
n---------- k
=======
貌似是一堆近似值，全都不是……
试到3553都没有
估计公主是设了圈套让偶们钻了

[[i] 本帖最后由 夜雨落枫 于 2007-8-9 20:01 编辑 [/i]]

公主的意思是，符合1^2+2^2+3^2+……+n^2=p^2的（n，p)共有多少对吧
于是，问题转化为求所有满足1/6 n（n+1）（2n+1）为完全平方数的n的问题
我再仔细想想……

[[i] 本帖最后由 夜雨落枫 于 2007-8-9 20:09 编辑 [/i]]

前两天想了想，因为6=2*3，而p^2=1/6 n（n+1）（2n+1），于是n,n+1,2n+1之中只能有最多两个数的乘积被6整除，于是其中必有至少一个数为完全平方数
现在只能证明n不是完全平方数，其他的还没想出来

[quote]原帖由 [i]霸王高宠[/i] 于 2007-8-5 18:26 发表

抱歉,费马大定律暂无证明 [/quote]

费尔马大定理中 n=3 的 case 还是很容易证的，很标准的中学生的竞赛难度。据说，费尔马本人就证出了 n=3 的情况，然后不知道智商卡被打劫了还是怎么的，就声称所有的 n 都没有解。

public class Square {
        public static void main(String[] args) {
                int i,j,k;
                String s="";
                for(i=1;i<=10000;i++){
                        s="";
                        int all=0;
                        for(j=1;j<=i;j++){
                                all+=j*j;
                                s+="+"+j+"*"+j;
                        }
                        k=1;
                        while(k*k<all){
                                k++;
                        }
                        if(k*k==all){
                                s+="="+k+"*"+k;
                                System.out.println(s);
                               
                        }
                }
        }
}

1*1=1*1
1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9+10*10+11*11+12*12+13*13+14*14+15*15+16*16+17*17+18*18+19*19+20*20+21*21+22*22+23*23+24*24=70*70
一万以内就这么两个。。。

当n>1时，n,n+1,2n+1是两两互素的，因此需要找的n只可能是三种情形之一：（1）n/6，n+1,2n+1是完全平方数(2)n,(n+1)/6,2n+1是完全平方数(3)n,n+1,(2n+1)/6是完全平方数。
第三种n显然是不存在的。对于前两种，设2n+1=(2l+1)&sup2;,因此n=2l&sup2;+2l是偶数。对于情况2，设n=(2k)&sup2;，于是2k&sup2;=l&sup2;+l=l(l+1).又因为l,(l+1)互素，所以必须要有l=1,k=1.于是n=4.这也是不成立的。于是只能是情形1.设n=6m&sup2;.于是3m&sup2;=l&sup2;+l.又由l和l+1互素知必须m=2,l=3.于是只有唯一的可能n=24.
从上述证明得出结论：公主从一开始就没安好心

[quote]原帖由 [i]wotaifu[/i] 于 2010-1-26 19:10 发表
当n>1时，n,n+1,2n+1是两两互素的，因此需要找的n只可能是三种情形之一：（1）n/6，n+1,2n+1是完全平方数(2)n,(n+1)/6,2n+1是完全平方数(3)n,n+1,(2n+1)/6是完全平方数。
第三种n显然是不存在的。对于前两种，设2n+1=(2l+1)²,因此n=2l²+2l是偶数。对于情况2，设n=(2k)²，于是 2k²=l²+l=l(l+1).又因为l,(l+1)互素，所以必须要有l=1,k=1.于是n=4.这也是不成立的。于是只能是情形1.设 n=6m².于是3m²=l²+l.又由l和l+1互素知必须m=2,l=3.于是只有唯一的可能n=24.
从上述证明得出结论：公主从一开始就没安好心[/quote]
耶！请斑竹加分！:hz1013:

不过大家不觉得这个等式很酷么？

[color=Silver][[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2010-1-26 19:42 编辑 [/i]][/color]

思考的不算太周密，没考虑2和3不是同一个数的因数的情况。不过昨天急着吃饭，就没改。现在补上。
(4)如果3|(2n+1),设2n+1=3(2l-1)&sup2;.n=6l&sup2;-6l+1.于是n+1是偶数。设n+1=2k&sup2;,n=(2s-1)&sup2;,于是2k&sup2;-(2s-1)&sup2;=1.k&sup2;=2s&sup2;-2s+1=s&sup2;+(s-1)&sup2;.s-1,s,k是勾股数组。这样的数组只有3,4,5.于是s=4,k=5.n=49.但这样一来(2n+1)/3=33不是完全平方数，n不存在。
(5)如果3|(n+1)且2不整除n+1,由于2n+1是奇数,于是设n=2s&sup2;.2n+1也是完全平方数，设其为l&sup2;.于是l&sup2;-4s&sup2;=1.此方程不存在正整数解。
(6)如果3|n且2不整除n,设n+1=2k&sup2;,2n+1=l&sup2;,则4k&sup2;-l&sup2;=1,依旧不存在正整数解。

LS看来是个数学高手. 应公主所请, 加分奖励.