求助排列组合问题

首先是这些问题：
1、 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.
　（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.
　（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.

2、  有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
　（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.
　（２）平均分成三份.
　
3、（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？
　
    （２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？

4、 ５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
5、 从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
请问各位大侠谁能给一个比较完善的思考流程？这些题太易出错了，如能解决在下疑惑，不胜感激。
此外，如有高人能详细讲讲排列组合的通法，在下还将追加tb,鞠躬了！

另：我上学期间不能方便的上网，悬赏给出可能很晚，敬请见谅

[[i] 本帖最后由 奇迹魔术师·杨 于 2007-5-27 11:03 编辑 [/i]]

1.(1)7920     (先忘记乘以C(3,5)了....式子里面都列了....老这样....:qDD+)
   (2)1320

2.(1)90
   (2)15

3.(1)180
   (2)30

4.6

5.1001

[[i] 本帖最后由 MeSlag 于 2007-5-27 14:50 编辑 [/i]]

主要就是加法原理与乘法原理混用
如果麻烦一点就用隔板法(反正我们当时是这么叫的....)

这里不能用mathtype把计算式写出来...有其他办法么?

还有就是不知道我计算是不是错了....这种题最容易出错的就是计算了....:qgod+

[[i] 本帖最后由 MeSlag 于 2007-5-27 11:53 编辑 [/i]]

第一题答案两都应是7920，因为组人数不同，有无代码都一样
第四题我感觉因分类：1  老师和班级无代码：2    （1.1.3和1.2.2）
                              2  班级有代码老师无： 2×3＝6  
                              3  老师有代码，班级无： C（1/5）×C（1/4）×C（3/3）＋C（1/5）× C（2/4）×C（2/2）
                              4  老师班级均有代码：3！×C（1/5）×C（1/4）×C（3/3）＋3！C（1/5）× C（2/4）×C（2/2）

说一个小通法吧

比如第5题 5个班选10人篮球队

令方程

x1+x2+x3+x4+x5=10 (1<=xi<=6)

这个方程的每组解对应了一种分法

认为每班至少有一人 可以令xi'=xi-1 (i=1,2,3,4,5) 则

x1'+x2'+x3'+x4'+x5'=5 (0<=xi'<=5)

对于x1+x2+...+xk=n这样一个方程 其非负整数解得个数为C(n+k-1,n),称为多重集的排列组合公式;

因此 上面那个方程的非负整数解的个数为C(5+5-1,5)=126种

至于这个公式的推法 你有兴趣自己想吧:P

[[i] 本帖最后由 青木风亮 于 2007-5-27 12:59 编辑 [/i]]

如果认为可以有的班级没有人入选的话，是要把那些特殊项加上，还是另有公式可解？

楼上看这个帖子第3题

[url]http://dx.xycq.net/forum/viewthread.php?tid=85159&highlight=[/url]

谢谢各位，但请给个思考过程~~

[quote]原帖由 [i]jmh1984[/i] 于 2007-5-27 12:45 发表
第一题答案两都应是7920，因为组人数不同，有无代码都一样
第四题我感觉因分类：1  老师和班级无代码：2    （1.1.3和1.2.2）
                              2  班级有代码老师无： 2×3＝6  
             ... [/quote]


显然应该不一样,甲组X人乙组Y人;甲组Y人乙组X人,第一问里应该是不同情形,第二问里却是同一种情况.

[quote]原帖由 [i]青木风亮[/i] 于 2007-5-27 12:51 发表
说一个小通法吧

比如第5题 5个班选10人篮球队

令方程

x1+x2+x3+x4+x5=10 (1<=xi<=6)

这个方程的每组解对应了一种分法

认为每班至少有一人 可以令xi'=xi-1 (i=1,2,3,4,5) 则

x1'+x2'+x ... [/quote]



如果是每班人数严格大于零的话,肯定就是126,用隔板法一样解.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

看做是10个人中要插入9块板将其分开

比如  0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0  表示 1班出3人, 2班出3人 3班出2人,4班出1人,5班出1人

可以证明,每种隔板的插法和实际的排列情形是一一对应的(具体证明过程,高考不需要)

所以是10个人,9个空挡 就是 C(4,9) 下面是9,上面是4,就等于126

我觉得这个方法倒比较容易,用的也比较多.

但是,我觉得需要考虑某班一个人都不出的情形,如果加上那些,则是1001


PS:你说的那个推法,我觉得应该可以用隔板法推,但证明不严密,还需要证明隔板法其每种插法所代表的项,与实际每一种选法是一一对应的.(怎么证明忘了....汗)

[[i] 本帖最后由 MeSlag 于 2007-5-27 14:45 编辑 [/i]]

这类题目就几种解法,因为不需要严密的证明过程,所以,随便买本书专挑这一类的题目做一些估计就差不多了吧

我记得我那年高考的时候,这种题目只会出一道....鸡肋啊``不知道现在怎么样了....
所以也不必太上心吧,偶觉得

现在也维持在1-2道~~
但是高考这东西~寸土必争啊~~

[quote]但是,我觉得需要考虑某班一个人都不出的情形,如果加上那些,则是1001[/quote]

好 我的方法 x1+...+x5=10;

C(10+5-1,10)=1001

over

对于每班至少x人的情况 有x1+...+xk=n-kx

于是C(n-kx+k-1,k-1)

这个公式google一下应该有

[[i] 本帖最后由 青木风亮 于 2007-5-27 16:18 编辑 [/i]]

你的式子好象提醒我了,的确可以直接用C(10,14)来直接表示

就是直接在14个空挡上放置四块板,板直接放在空挡上,而不放在两者之间

如果两块板放在一起则是其中一个班级出0个人的情形

日子久了....都忘的差不多了....:qDD+

[[i] 本帖最后由 MeSlag 于 2007-5-27 16:43 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]奇迹魔术师·杨[/i] 于 2007-5-27 15:55 发表
现在也维持在1-2道~~
但是高考这东西~寸土必争啊~~ [/quote]

这种题目简单一点的话,做到后来就都很熟了,你如果08年高考的话,时间足够了,不需要专门训练.如果有点难度的话,就得弄上刻把钟....反正我是这样的...

一个选择题或者填空题肯定不可能给你那么长的时间的

所以高考的排列组合题基本上都属于送分的...

如果真出现比较难的话,还不如先把这个时间挪去先把其他的题目解决了再说.

往往后面7,8分的大题或者甚至更高分值的题目也就这个时间得做出来....

谢了青木风亮，如分类求则为126＋5×C（9，6）＋10×C（9，7）＋10×C（9，8）＋5×C（9，9）＝1001，我发现1001可直接用C（14，10）求得，用。对于有0项就可直接套用“对于x1+x2+...+xk=n这样一个方程 ，其非负整数解得个数为C(n+k-1,n)”这公式了，我还是不太理解公式的推倒，这样有点投机取巧了

其实这个题目的推导很容易的

比如X1+X2+X3+X4+X5=10

如果是求正数解的数目则可以看作是

10个1中间插上4个加号

这样分隔出来的数目就对应方程的根的值了....有多少种插法就有多少个根

于是就是C(4,9)

依此类推.....



如果是求非负整数解,则是看作是有14个1,把其中任意的4个1变成加号,

这样,相临的隔板则可以代表0根

所以就是C(4,14)

[[i] 本帖最后由 MeSlag 于 2007-5-27 19:41 编辑 [/i]]

:q555+读的书全忘光了，现在满脑子都不知塞的为何物:ph34r:

感谢Meslag与青木兄，最佳答案已设完，另给青木兄已转200tb,请查收~