我也来个 MOD

是否存在一个 2006 边形，它的每个内角都相等，且边长为：1^2, 2^2, 3^2, ... , 2006^2 的一个排序。
关于 2007 边形，你能得出什么类似的结论？

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2007-4-20 13:31 编辑 [/i]]

^这个符号是平方的意思吗？

公主出题目最好不用高等知识就能解...

我看到在平面中不存在这样的三边形，四边形。内角相等且以这样的边长排序，MS一个向外发散的螺旋，为什么会成为一个n边形呢？:qoo+

[[i] 本帖最后由 lcarron78 于 2007-4-21 11:14 编辑 [/i]]

林冲：嗯。1 平方，2 平方，到2006 平方。

lcarron78：不是 1^2, 2^2 , ... 这样直接排下去，而是它们的一个排序。比如说，256^2, 1231^2, 24^2 , ... whatever... 最后把 1 ... 2006 的平方数全部用完就可以。

Kyoko: 中学题，不需要很深的知识，主要看能否灵活应用。

每个内角都相等,角度接近180
怎么排序最终结果都是一样的

每个内角都相等,角度接近180
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每个内角 = (2005/2006) pi.

给个解答把，实在是想不出了。谢先

给个提示吧．可以考虑构造复数 z_1, z_2, ... , z_2006, |z_i| = a_i, a_i 是 {1^2, 2^2, ... , 2006^2} 的一个排序, arg(z) = (2005/2006) pi．令 A_0 = 0, A_i = A_0 + z_1 + ... + z_i，如果 A_2006 = 0，那么复数 A_1, A_2, ... , A_2006 所在的位置就是这个 2006 边形的坐标．

按这个思路的话，你的任务就是找出适当的 a_1 , ... , a_2006 使得 A_2006 = A_0 = 0.

问题就是不知道什么样的条件才能使A_2006=0.

提示 2: 2006 = 2 x 17 x 59.

让我试试

2006边形内角为(2006-2)/2006pi=1002/1003pi;

令a=pi-1002/1003pi=1/1003pi;

考虑构造复数 z_1, z_2, ... , z_2006, |z_i| = a_i, a_i 是 {1^2, 2^2, ... , 2006^2} 的一个排序中的第i个元素, arg(z_i) =a*(i-1) ．令 A_0 = 0, A_i = A_0 + z_1 + ... + z_i，如果 A_2006 = 0，那么复数 A_1, A_2, ... , A_2006 所指向的位置就是这个 2006 边形的顶点坐标．

令z=cos(a)+isin(a) 有

A_2006=a_1+a_2*z+a_3*z^2+...+a_2006*z^2005  (1)

z^1003=cos(pi)=-1   (2)

1+z^2+z^4+...+z^2004=0   (3)

令a_(2k-1)=b_k^2   (4)

试取a_(2k+1002)=(b_k+1003)^2,a_(2006+r)=a_r   (5)

其中k=1,2,..,1003,则z^(2k-1)=z^(1003)*z^(2k-1002)=-z^(2k-1002)(奇次幂置换为偶次幂)

综上 A_2006=∑[a_(2k-1)-a_(2k+1002)]*z_(2k-2)
=-2006∑b_k*z^(2k-2)-1003^2∑z^(2k-2)
=-2006∑b_k*z^(2k-2)   (6)

k=1,2,..,1003

讨论b_k

2006=2*17*59

由1-(z^34)^59=0,1-z^34 !=0 得

1+z^34+z^68+...+z^1972=0

因而

u_h(z^2h+z^(2h+34)+...+z^(2h+1972))=0   (7)

u_h为辅助变量，h=0,1,2,...,16

类似地

v_j(z^2j+z^(2j+118)+...+z^(2j+1888))=0   (8)

j=0,1,2,...,58

把所有形如(7)(8)的等式相加，得

∑b_k*z^(2k-2)=0   (9)

其中 b_k=u_h+v_j   (10)
(k=1,2,...,1003) h=(k-1) mod 17;j=(k-1) mod 59   

将(9)代入(6)得 A_2006=0

若取u_h=59h,(h=0,1,2,...,16) v_j=j+1,(j=0,1,2,...,58) 代入(10),由于17与59互质，所得的1003个b_k值各不相同，且1<=b_k<=1003,所以b_1,b_2,...,b_1003的值是1,2,...,1003的一个排列。再把b_k的值代入(4)(5)得到a_1,a_2,...,a_2006是1^2,2^2,...,2006^2的一个排列，综上构造出一个满足条件的2006边形

把17和59换成任意两个互质的大于1的奇数，推广为下面的命题：

对任意两个互质的大于1的奇数p和q,存在满足以下条件的凸2pq边形：

(1)所有内角都相等；
(2)将其各边顺次编号，奇数号码的边长是1^2,2^2,...,(pq)^2的一个排列，偶数号码的边长是(pq+1)^2,(pq+2)^2,...(2pq)^2的一个排列

边数最少为30...

[[i] 本帖最后由 青木风亮 于 2007-5-5 20:22 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2007-4-22 23:14 发表
每个内角都相等,角度接近180
---------------------
每个内角 = (2005/2006) pi. [/quote]
不对啊，我这个初中生都知道，N边形内角和为180(N-2)Pi,既然2006个内角都相等，就应该是2004*180Pi/2006=1002/1003Pi才对吧

这么长且麻烦的解答怪不得偶冥思苦想不出

有什么好大惊小怪的 又不是官方攻略

[quote]原帖由 [i]青木风亮[/i] 于 2007-5-5 20:08 发表
让我试试

2006边形内角为(2006-2)/2006pi=1002/1003pi;

令a=pi-1002/1003pi=1/1003pi;

考虑构造复数 z_1, z_2, ... , z_2006, |z_i| = a_i, a_i 是 {1^2, 2^2, ... , 2006^2} 的一个排序中的第i个元素 ... [/quote]

:unsure::unsure::unsure:

青木果然很强啊，如果完全没有看 1990 年版的“官方攻略”的话，我真的要膜拜一下了。:wub:

尽搞些我看不懂的！飘过！:qDD+

用进废退.... ....:angry2:

高考最难的都没这么难