概率问题

在一个圆上随便画一条 chord (中文不会说，就是顶端连接圆周的直线)，L。令三角形 ABC 为圆里可以画的最大的全等三角形。计算 L 比 ABC 任意一边要长的概率。

中文应该叫弦。圆里可以画的最大的全等三角形，不知道是什么意思？就当是三边相等，三个角都是60度的那种吧！

假设L起始于A点，L与BC成的角度可以为0到180度。
若该角度小于60度或大于120度，则L的另一段落于BC之外，则 L 比 ABC 任意一边都要短。
若该角度在60和120度之间，则L的另一段落于BC之间，则 L 比 ABC 任意一边都要长。

所以计算 L 比 ABC 任意一边要长的概率为33.33333%

[[i] 本帖最后由 林冲 于 2007-3-21 16:16 编辑 [/i]]

用圆周长也可以证明，是1/3的概率。

如果公主题目中提到的全等三角形真的是指等边三角形的话,那我也觉得概率是1/3

PS:chord按照公主的描述来说应该是指弦吧?

圆上有无限个均匀分布的点，各有1/3在圆弧AB，BC，AC上。L(弦)始于A点止于BC则大于任一边。L的止点是随机，因此1/3落在BC上。证毕。

首先,易证明在半径为R的圆中最大的等边3角型的边长为√3R,弦L的取值范围为［０，２R],根据几何概率模型,概率P=(2r-√3R)/2r=1-√3/2.

诸位有没有考虑过：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2。

回复 #7 天宫公主 的帖子

可是1/3的结论是按圆周长算的，又错在那呢？

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2007-3-22 01:58 发表
诸位有没有考虑过：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2。 [/quote]

这个答案似乎是对应于这样一个问题：
从任一已知直径上随便作一与之垂直的的弦L，计算 L 比 ABC 任意一边要长的概率。

这个问题不等同于原题。

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2007-3-21 21:58 发表
诸位有没有考虑过：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2。 [/quote]
反对,L的测度只应该从L本身来考虑,你实际上是做了个映射将L的值域缩小到了半径的值域.

回公主 我没考虑过用弦心距解决问题.答案1/3
以O为圆心做半径为1的圆.AB为任一直径,C,D分别是AO,BO的中点.CM垂直AB交圆于M,DN垂直AB交圆于N(MN在AB的同侧),在所有与AB垂直的弦中,符合条件的概率是弧MN/半圆=1/3而不是CD/AB=1/2.
所以答案是1/3.

[[i] 本帖最后由 墨叶 于 2007-3-22 11:13 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]sobeit[/i] 于 2007-3-22 10:36 发表

反对,L的测度只应该从L本身来考虑,你实际上是做了个映射将L的值域缩小到了半径的值域. [/quote]

:agree:弦是由圆周上两点决定的 不是用弦心距求得的

设圆周上有k个点 共有C(k,2)=1/2*(k-1)k条弦                    (1)
满足条件的弦的数量C(k,1)C(k/3,1)/2=1/2*(k/3)k              (2)

(2)/(1)=(k/3)/(k-1) 求极限得1/3

[[i] 本帖最后由 青木风亮 于 2007-3-22 20:12 编辑 [/i]]

同意楼上观点

应该是1/4
圆内的每一条弦都对应着一个中点（两者一一对应，也就是圆内任意一个点只是一条弦的中点），这样圆内的所有点（作为弦的中点）就一一对应（决定）了所有的弦。当中点在1/2半径内的时候，L大于等边三角形的边长，当中点大于1/2半径的时候，L小于等边三角形的边长。这样概率是pi*(r/2)^2/pi*(r)^2=1/4.既半径为r/2的小圆面积与大圆面积之比。感觉1/2，1/3答案看似有道理，其实不够严密，不一定哪里出了问题。

公主还在卖关子......

[quote]原帖由 [i]风暴潮[/i] 于 2007-3-24 14:47 发表
应该是1/4
圆内的每一条弦都对应着一个中点（两者一一对应，也就是圆内任意一个点只是一条弦的中点），这样圆内的所有点（作为弦的中点）就一一对应（决定）了所有的弦。当中点在1/2半径内的时候，L大于等边三 ... [/quote]

似乎圆内所有直径都对应同一个中点:P

[quote]原帖由 [i]风暴潮[/i] 于 2007-3-24 14:47 发表
应该是1/4
圆内的每一条弦都对应着一个中点（两者一一对应，也就是圆内任意一个点只是一条弦的中点），这样圆内的所有点（作为弦的中点）就一一对应（决定）了所有的弦。当中点在1/2半径内的时候，L大于等边三 ... [/quote]
反对
很多中点重复，比如所有的直径中点都在圆心上

[quote]原帖由 [i]reynolds_wwy[/i] 于 2007-3-24 17:20 发表
公主还在卖关子...... [/quote]
嘿嘿。

1/3 的答案也没错，1/2 的答案也很合理，那么到底是哪里错了呢？

没考虑直径，失误

[quote]原帖由 [i]sobeit[/i] 于 2007-3-22 10:36 发表

反对,L的测度只应该从L本身来考虑,你实际上是做了个映射将L的值域缩小到了半径的值域. [/quote]

公主的做法有问题

弦到圆心的长度（弦心距）来测度弦出现的概率是不准确的。弦是以其所对应的弧度来定义的。弧度与弦长是一一映射关系，而弦心距的长度与弧长并不是一一映射的关系（也即其按弧度均匀划分时，并不是均匀分布的）。见下图：[img]http://www.xycq.net/attachments/2007/03/82141_200703260918481.jpg[/img]

d1、d2是被中点分割成两段的半径的两个部分。弦心距d落在d1内时弦长小于圆内接正三角形的边长，在d2内则大于。c1、c2、c3则是其对应的弧。落在c1内时，d落在d1内。大于c1，小于c1＋c2＋c3时，d落在d2内。

c1对应的角度是120度，c2＋c3对应的角度是60度，也即按弦心距长度考虑时d1：d2＝1：1，而按弧长考虑时，c1：c2＋c3＝2：1。

按弦的定义来看，弦是根据角度（弧度）定义的，不是根据弦心距定义的。所以按弦长来判断弦的几率也许更准确。这涉及到实数映射的问题吧。

[[i] 本帖最后由 whws 于 2007-3-26 09:34 编辑 [/i]]

按弦心距是1/2，按角度是1/3。
如果按1度画一条弦，则这180条弦的角度差异是一样的，可弦心距差异是不一样的（非线型）。
粒度不同，结果自然不同。

这个问题貌似就演化成了类似于"0到1之间的数字多呢？还是0到100之间的数字多呢？"这样的问题。
没法比。至少我不知道怎么比。

还是等达人吧

[quote]原帖由 [i]whws[/i] 于 2007-3-26 09:01 发表


公主的做法有问题

弦到圆心的长度（弦心距）来测度弦出现的概率是不准确的。弦是以其所对应的弧度来定义的。弧度与弦长是一一映射关系，而弦心距的长度与弧长并不是一一映射的关系（也即其按弧度均匀划分 ... [/quote]
并不是映射的原因,而是对应的样本空间不一样,公主的样本空间是半径上的点的集合,你们的样本空间是圆周上任意两点的组合的集合,我考虑的样本空间是弦的集合.不同的样本空间有不同的结果,如果题目这样问:在半径为R的圆中,过半径上一点做半径的垂线,求弦长大于根号3的概率,那么1/2是对的,如果是在圆周上任取两点,求过这两点的弦的长大于根号3的概率,那么1/3是对的,,但是题目是任取一弦,求弦长大于根号3的概率,那么我认为应该这样考虑,首先将弦的集合划分为无穷个相等的子集Ai:Ai={任取直径i,圆内所有同直径i相平行的弦}.那么{A1,A2,A3....Ai}构成了原集合的等价划分.任取一个集合An,显然An中的弦被取中的几率是相等的,这些弦对应区间[-2r,2r]其中弦长大于√3的弦对应区间[√3-2r,2r-√3]
所以概率为1-√3.

[quote]原帖由 [i]sobeit[/i] 于 2007-3-26 13:11 发表

并不是映射的原因,而是对应的样本空间不一样,公主的样本空间是半径上的点的集合,你们的样本空间是圆周上任意两点的组合的集合,我考虑的样本空间是弦的集合.不同的样本空间有不同的结果,如果题目这样问:在半径 ... [/quote]

你是按照弦的长度来分的，可惜弦的长度变化并不是线型的。
如果按照点来选，那应该是公主的1/2

大家以为这个答案如何?

弦的中心点必须位于半径为1/2的同心圆之内才满足要求。而此圆的面积是大圆面积的1/4，故所求的概率是1/4.

公主开始折磨人了。
以我的理解，做个类比：
y与x相关。那么x在0-1之间时，y的值在0－0.5之间的概率是多少？
大家默认y=x，那就是0.5了。可是有人说，y=x^2也有道理啊，然后y=x^3也有道理啊。所以争论不出结果……

所以呢，我觉得园上的弦这个定义还不够精确。
1.圆上任意两点间的连线。
2.到圆心距离为r的直线被圆分割成的线段。
3.将圆分割成面积为1:x两个部分的直线被圆分割成的线段。
…………

大概要定义了这个，才能得出正确的概率吧。

楼上正解。没有陷阱，不折磨人的题也不轻易往外拿。:titter:

这个问题的关键就是“随便”这个词用得比较草率。我只举了三个例子，但其实这个问题的答案可以是(0,1)之间的任何一个数字(但不能是０或１)，无非有些解释主观上感觉比别的牵强，但从逻辑上都能站的住脚。

题外话：此问题被提出后，对１９世纪的概率学造成了相当的打击。它同时也给了 Kolmogorov 等人用测度论作为概率学严格定义的动机。

算你狠

回复 #26 天宫公主 的帖子

公元0908年4月1日，路人丙扬言要杀路人丁，结果被告上法庭。路人丙辩解说，他是指在网游上杀，无罪。

题外话：次日，刑事法新增对“杀人”的严格定义：
1。 杀人者必须作出某种行为，
2。 这种行为必须是实质性的，
3。 被杀者是存在于物质世界的人，
4。 人的严格定义请参照刑事法某条，
5。 杀人者的行为要对被杀者造成致死性的伤害，
6。 死亡的严格定义请参照刑事法某条，
7。 。。。。。。。


PS： 公主出的这个题真的很糟糕。

[[i] 本帖最后由 lcarron78 于 2007-3-31 08:37 编辑 [/i]]

回复 #28 lcarron78 的帖子

很糟糕么？我觉得很好啊没这样的motivation说不定概率论就永远停留在古典概率模型上了

[quote]原帖由 [i]reynolds_wwy[/i] 于 2007-3-31 18:17 发表
很糟糕么？我觉得很好啊没这样的motivation说不定概率论就永远停留在古典概率模型上了 [/quote]

那个题真的很“糟糕”。:q```+

问题一点也不“糟糕”。很有意义。

中考高考就有问题因为表示不清楚而出错。象2003的江苏数学。

这不就是有名的Bertrand奇论么

设单位圆上两点A(Cos a,Sin a)和B(Cos b,Sin b)
（[color=red]这里定义a,b~U(0,2π)[/color]）
单位圆内接三角形边长为√3
求√((Cos a-Cos b)^2+(Sin a-Sin b)^2) > √3的概率

√((Cos a-Cos b)^2+(Sin a-Sin b)^2) > √3
(Cos a-Cos b)^2+(Sin a-Sin b)^2 > 3
2-2Cos a Cos b-2Sin a Sin b> 3
Cos(a-b)<-1/2

最后求的就是Cos(a-b)<-1/2， a,b∈[0,2π)的概率，见图，横轴a，纵轴b
[attach]102795[/attach]
那么结果就是1/3

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PS：我记得今年有人出过同样的题，但是帖子找不到了。谁给我个传送门？

[color=Silver][[i] 本帖最后由 阿尔法孝直 于 2010-11-1 23:32 编辑 [/i]][/color]

单位圆内接三角形边长为√3/2 ？

回复 #34 周瑜 的帖子

修正……

此题本意并不在于计算结果，而在于通过不同的方法对弦进行分类，可以得到完全不同的结果。

1.圆周上任取两点，连接得到弦，答案为1/3。
2.任选一条半径，作与之垂直的弦，答案为1/2。
3.圆内任取一非圆心点，作与通过该点半径垂直的弦，答案为1/4。

可参考：
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)[/url]