一个高中数学题 有一定难度哦

已知    [size=6]A[size=1]N[/size][/size][size=6]=3^N/(3^N-1)     [/size]
[font=黑体][size=6]求证：   A[size=3]1[/size]A[size=3]2[/size]……A[size=3]n-1[/size]A[size=3]n[/size]<2   是积，不是和，开始错了，不好意思[/size][/font]
[font=黑体][size=6][/size][/font]
[font=黑体][size=6]我们老师也没做出来，请教各位有没有好的方法，是高中内容哦。[/size][/font]
[font=黑体][size=6][/size][/font]

[[i] 本帖最后由 luoqiutang 于 2006-11-28 00:38 编辑 [/i]]

3和n之间是什么符号呢?

回复 #2 youxiaihaozhe 的帖子

^是乘方

有点问题,N是正整数吧.-1是在乘方数外吧.感觉是个大学题,错出在高中卷子上。

大学的话明显是一个求极限的题型.

中学用笨办法,分母拆分多项式.是个标准(KN-1)多项式有通则的。把分子分母倒过来.求
求其倒数大于1/2,解答就出来了。~
有点笨,但是能做出来.

[[i] 本帖最后由 phoenixdaizy 于 2006-11-29 13:21 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]phoenixdaizy[/i] 于 2006-11-28 07:30 发表
有点问题,N是正整数吧.-1是在乘方数外吧.感觉是个大学题,错出在高中卷子上。

大学的话明显是一个求极限的题型.

中学用笨办法,分母拆分多项式.是个标准(KN-1)多项式有通则的。把分子分母倒过来.求
求其倒 ... [/quote]

没错N是正整数.-1是在乘方数外，据说是今年的高考题的最后一问。

题目不太清楚，不知道3^N/(3^N-1)指的是3^[N/(3^N-1)]还是（3^N）/(3^N-1)。

[quote]原帖由 [i]瓦灰[/i] 于 2006-11-28 08:47 发表
题目不太清楚，不知道3^N/(3^N-1)指的是3^还是（3^N）/(3^N-1)。 [/quote]
明显后者

phoenixdaizy的方法是正解
不过应该是证明倒数大于1/2

可能有更巧妙的方法

这种题楼主的老师做不出来？
如果是真的，这个老师比较菜

[[i] 本帖最后由 青石 于 2006-11-28 17:50 编辑 [/i]]

那老师据说是北师大毕业的高才生[font=黑体][size=3]……[/size][/font]
他说要自己做只能用大学方法
想不到中学能接受的简单的
具体怎么分解呢？ 是(k^n-1)=(k-1)(k^(n-1)+k^(n-2)[font=黑体][size=3]……[/size][/font]+1)吗？  

或者还有哪位有比较简单的么

麻烦了，谢谢。

是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的这个式子的值大于1/2

[quote]原帖由 [i]青石[/i] 于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ... [/quote]

咱该改行做中学老师的，10多年没碰数学题了。哈哈。
注意的问题就是分解出来的式子要认识其规律.

[[i] 本帖最后由 phoenixdaizy 于 2006-11-29 13:28 编辑 [/i]]

恩 楼上的方法最好

估计没有更简单的

没有认真考虑过
没有看出这个方法
:funk::qDD+:qDD+


Π(1-k^(-i)) 估计没什么直接结果吧
对于k>1，用你说的方法可以得到这个式子的值大于(k-2)/(k-1)

[[i] 本帖最后由 青石 于 2006-11-29 23:44 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]青石[/i] 于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ... [/quote]


我们那老师应该是[color=red]85[/color]年左右进的北师大吧，叫周新民，跟青石（老师？）不是一个年代的吧。

谢谢各位的帮助。

[[i] 本帖最后由 luoqiutang 于 2006-12-1 10:07 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]青石[/i] 于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ... [/quote]

撞上了个真北师大的。:titter:

青石的表示论研究的怎么样了？

[quote]原帖由 [i]青石[/i] 于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ... [/quote]


应该有2^(n-1)个负项啊，可青石的只有N个，其他项呢？

师大校友报道。

是否可以利用ln（1+x）<x来证明？？当x接近0时

[quote]原帖由 [i]luoqiutang[/i] 于 2006-11-30 19:33 发表



我们那老师应该是85年左右进的北师大吧，叫周新民，跟青石（老师？）不是一个年代的吧。

谢谢各位的帮助。 [/quote]

哦 原来是老前辈啦
:titter:

有些题做不出是很正常的:q```+

不过 毕业了十几年还能用大学学过的知识处理问题
令人佩服
:!*

[quote]原帖由 [i]luoqiutang[/i] 于 2006-12-2 18:38 发表



应该有2^(n-1)个负项啊，可青石的只有N个，其他项呢？ [/quote]
其他的在省略号里面
:titter:

[quote]原帖由 [i]颖颖[/i] 于 2006-12-1 03:22 发表


撞上了个真北师大的。:titter:

青石的表示论研究的怎么样了？ [/quote]

呵呵 正在刻苦攻读本门入门经典
希望来年能够领悟一些东东:q```+

数学归纳法应该可以证明吧，没仔细想，感觉应该可以。
求极限的题高中也可以做吧，感觉需要用到自然对数e的极限

[quote]原帖由 [i]蕭異嵐[/i] 于 2006-11-29 21:37 发表
青石啊,变形到了Π(1-3^(-i))这一步,下面应该放缩吧:
Π(1-3^(-i)) > 1-Σ3^(-i) = 1-1/2 = 1/2
放缩根据:(1-a)(1-b)>1-a-b的推广模式,a,b小于1正数
这样放缩后还恰好与1/2接上了(本来该不等式显然可以 ... [/quote]
这道题我们月考才考了来的... 到了Π(1-3^(-i))这一步  我就是用的放缩法...
其实这道题真的比较简单,在我们老师眼里这属于中低档题:q```+

楼上的 老师要照顾大部分学生的  要不自学了一点点高数的都可以直接求极限…………  又何必放缩呢？

更何况这里可以直接做数学归纳法，连放缩都不要做了。

所以要找个通俗易懂的方法

顺便发现楼上的跟我一个姓

[[i] 本帖最后由 luoqiutang 于 2006-12-12 23:03 编辑 [/i]]

姓什么??
你可要知道,数学归纳法只有理科生才学了的.
文科生可没学. 照顾大多数学生,那么就更不应用归纳法了.放缩法就通俗易懂

可是…………我们是理科班啊，全部都会数学归纳法的，而放缩N多人看不出

是不是我想的太简单了? 大家帮看看对不对!!

3^n 在(1,+&)上递增
n=1时, 3^n - 1 >1
所以3^n - 1衡大于1
所以1/(3^n - 1)衡小于1
所以1/(3^n - 1)   +  1   衡小于2
通分!得 3^n  /  (3^n  -  1)  小于2


如果对的话,这应该就是高中做法.....

回复 #27 shareblue 的帖子

那乘起来你打算怎么办？
前面用(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_n)>=1-a_1-a_2-...-a_n已经很清楚了

回复 #28 reynolds_wwy 的帖子

恩.....再看看

[[i] 本帖最后由 shareblue 于 2006-12-20 22:32 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]reynolds_wwy[/i] 于 2006-12-20 08:12 发表
那乘起来你打算怎么办？
前面用(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_n)>=1-a_1-a_2-...-a_n已经很清楚了 [/quote]
这个不等式应该推导一下的，如果直接用了肯定是要扣分的。可以肯定的说90%的学生是想不出来这个不等式的。说实在的这题直接求极限也不是那么好求的，数学题其实就是一层窗户纸，一捅就破。但是在没有捅破之前却什么也看不出来