初一数学题（难度相当大）

若P是>3的素数，且3n=(2^2p)-1,求证：n整除(2^n) —2

[[i] 本帖最后由 夜雨落枫 于 2006-10-22 22:15 编辑 [/i]]

忘记说了，必须用初中知识解

:funk:可不可以不要弄数学的东西。这里是游戏的地盘

这要求n>4
不知道是不是这样证明的：(2^n)-2=(2*2^(n-1))-2=2(2^(n-1)-1)
又3N=(2^2p)-1,，设(n-1）=p，则有2(2^(n-1)-1)=2（2^2p-1）=2*3N，因此可以证明上式成立。

别老整初一的，有本事你整个初三的。
你的题目意思都没说清，n是什么东西？自然数？还是存在这样一个自然数？

[quote]原帖由 [i]风暴潮[/i] 于 2006-10-22 20:52 发表
别老整初一的，有本事你整个初三的。
你的题目意思都没说清，n是什么东西？自然数？还是存在这样一个自然数？ [/quote]
你自己没看清啊
整除，2^2P-1足以说明N是正整数

更糊涂了，n和N是一个东西？

[quote]原帖由 [i]风暴潮[/i] 于 2006-10-22 20:14 发表
更糊涂了，n和N是一个东西？ [/quote]
不好意思，大小写打错了
是同一个

[quote]原帖由 [i]gsyzj[/i] 于 2006-10-22 20:15 发表
这要求n>4
不知道是不是这样证明的：(2^n)-2=(2*2^(n-1))-2=2(2^(n-1)-1)
又3N=(2^2p)-1,，设(n-1）=p，则有2(2^(n-1)-1)=2（2^2p-1）=2*3N，因此可以证明上式成立。 [/quote]
我也是这样证的,LZ看对不?

[quote]原帖由 [i]wt890920[/i] 于 2006-10-22 22:39 发表

我也是这样证的,LZ看对不? [/quote]
但是n针对任意正整数

n>4不是问题。因为p>3

但是这个证明本身似乎有点问题。(n-1）=p的假设是怎么来的呢？

[quote]原帖由 [i]whws[/i] 于 2006-10-23 01:48 发表
n>4不是问题。因为p>3

但是这个证明本身似乎有点问题。(n-1）=p的假设是怎么来的呢？ [/quote]
看到WHWS兄的一些解答，看得出兄水平应该相当高吧
现在偶有了用费马小定理的解法，有没有不用费马小定理的解法呢（因为费马小定理是高中内容）
还有那个N-1=P似乎未必吧，应该不能这样假设

要是在初中或许可以，现在全忘了

[quote]原帖由 [i]夜雨落枫[/i] 于 2006-10-23 22:34 发表

看到WHWS兄的一些解答，看得出兄水平应该相当高吧
现在偶有了用费马小定理的解法，有没有不用费马小定理的解法呢（因为费马小定理是高中内容）
还有那个N-1=P似乎未必吧，应该不能这样假设 [/quote]

我的水平不高，只不过用中学的残留记忆做点头脑运动，再就是在网上搜点感兴趣的东西看看。

其实觉得像这样的问题，就是间接的让学生证明费马小定理。

如果是我的话，可能会用组合数学去证明。（a+b）^n=a^n+Cn,1×a^(n-1)×b+Cn,2×a^(n-2)×b^2+……+Cn,(n-1)×a×b^(n-1)+b^n
取a=b=1,

2^n=sum(Cn,i)；i=0、1、2……n。

2^n-2=sum(Cn,i)；i=1、2、……n-1。

Cn,i=n!/(i!*(n-i)!)

因此只要证明各项Cn,i之和能够被n整除就可以了。也就是证明sum((n-1)!/(i!*(n-i)!))是整数。

(n-1)!/(i!*(n-i)!)=Cn-1,i×(n-1-i)!/(n-i)!=1/(n-i)*Cn-1,i

所以要证明sum(1/(n-i)*Cn-1,i)是整数，i=1,2,...n-1

剩下的证明，我再想想

[[i] 本帖最后由 whws 于 2006-10-24 20:28 编辑 [/i]]

对了，想起一件事，组合数学初中学了没有？

[quote]原帖由 [i]whws[/i] 于 2006-10-24 20:32 发表
对了，想起一件事，组合数学初中学了没有？ [/quote]
？
如果是那PX,X和CX,X（排列组合？）
那是学过的
别的不清楚
多谢了
留下慢慢消化

[[i] 本帖最后由 夜雨落枫 于 2006-10-24 20:58 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]whws[/i] 于 2006-10-24 20:02 发表
如果是我的话，可能会用组合数学去证明。（a+b）^n=a^n+Cn,1×a^(n-1)×b+Cn,2×a^(n-2)×b^2+……+Cn,(n-1)×a×b^(n-1)+b^n
[/quote]
这个不是二项式定理吗，记得证过的

想了一下，用费马小定理的确很容易证明。可以先证明n-1=kp，k为正整数。再利用gsyzj给出的证明方法证明原命题。

这样吧，实在懒得费劲了。把费马小定理的证明转贴过来吧。

费马小定理：若p是质数，且p不能整除a，则a^(p-1)=1mod(p)

证明：因为p不能整除a，考虑1×a、2×a、……(p-1)×a，这p－1个数对p不同余，且都不能整除p。所以1×a×2×a×……×(p-1)×a=a^(p-1)×(p-1)!＝1×2×3×……×p-1＝(p－1)!mod(p)

所以a^(p-1)=1mod(p)

[[i] 本帖最后由 whws 于 2006-10-24 21:19 编辑 [/i]]

弱弱的问一下  
^ 这个符号在这里是什么含义？
偶怎么一点印象都没有啊~！

[quote]原帖由 [i]西门飘烟[/i] 于 2006-11-4 14:44 发表
弱弱的问一下  
^ 这个符号在这里是什么含义？
偶怎么一点印象都没有啊~！ [/quote]
A^N表示A的N次方

我们没学.我上初2.数学每次是校前三.就是没学这个.绝对没记错.楼主标题炒做.无法用初一知识解.

[quote]原帖由 [i]最爱碧落赋[/i] 于 2006-11-15 21:30 发表
我们没学.我上初2.数学每次是校前三.就是没学这个.绝对没记错.楼主标题炒做.无法用初一知识解. [/quote]
我汗……当我华罗庚金杯赛差1分就一等奖的是吃干饭的啊
校前三，也要看什么学校的啊
问题就是偶们现在就学这个
再说我有没说用初一知识解
说的是用初中知识解

不懂

[[i] 本帖最后由 天生傲骨 于 2006-12-9 11:49 编辑 [/i]]

初中的时候这种奥赛题做过很多，估计当时做没问题
不过现在都忘光了

[quote]原帖由 [i]夜雨落枫[/i] 于 2006-11-15 21:51 发表

我汗……当我华罗庚金杯赛差1分就一等奖的是吃干饭的啊
校前三，也要看什么学校的啊
问题就是偶们现在就学这个
再说我有没说用初一知识解
说的是用初中知识解 [/quote]
我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....:-_-:
我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
如果你没学,你可以先学 ,你应该走在老师同学们的前面才对

想学好数学，就必须把它看成一个积木城堡。你拆一块下来，看看塌多少，塌的太多了再把它安回去。反复如此，就可以体会出各个定理之间的关系和证明技巧了。懂一个定理，并不是说能背出它的证明就行了，而是应该试着用同样的技巧去证明别的东西，一直到证不动了为止。然后体会这些结果的相似和不同。

[quote]原帖由 [i]Indelibe[/i] 于 2006-12-10 16:11 发表

我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....:-_-:
我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
如果你没学,你可以先学 ,你应该走在老师同学们的前面才对 [/quote]

:qP+学妹你太猛了 那你还学什么文科啊 国家集训队不用上高三的 各大高校直接包了...

[quote]原帖由 [i]Indelibe[/i] 于 2006-12-10 16:11 发表

我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....:-_-:
我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
如果你没学,你可以先学 ,你应该走在老师同学们的前面才对 [/quote]
也许当年你确实很牛。但你不一定就比人家数学专业本科毕业的普通学生数学强。