关于蠕虫悖论

这是基诺未能想出来的又一个悖论。一条蠕虫在橡皮绳的一端。橡皮绳长一米。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行。
在1秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长一米。再过一秒钟后，它又拉长为3米，如此下去。蠕虫最后究竟会不会达到终点呢？
根据直觉你会说：蠕虫绝不能爬到终点。可是，它爬到了。试试看，你是否能算出蠕虫要爬多远。
计算是这样的：
第一秒：蠕虫爬了全绳长的1/100，第二秒：蠕虫爬了全绳长的1/200……依次类推
于是，第n秒，蠕虫爬了全绳长的1/n*100
则在第2的k次方秒，蠕虫爬了全绳长的1/2的k次方*100
那么在2的k次方秒这个过程中，蠕虫爬了：
1/100＋1/200＋……＋1/2的k次方*100
将1/100提出后，原式变为：
1/100(1+1/2+1/3+……+1/2的k次方)
整理后得：
1/100[(1+1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+……+(1/{2的k-1次方加1}+……+1/2的k次方)]
为什么要这么整理呢？
试比较下面的式子和上面的式子：
1/100[1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……+(1/2的k次方+……+1/2的k次方)]
很明显：下面的式子将上面的式子的许多数改小了，所以下面的式子比上面的式子小
我们还可以发现：下面的式子每一个括号里的和都为1/2
那么n个1/2相加为n/2，下面的式子为k个1/2相加，得k/2
当下面的式子等于1时，1+k/2=100,
k/2=99,k=198,
所以，k/2=198,蠕虫爬到了另一头。
这是完整的蠕虫悖论。
我的想法出现了一些问题，先删掉
但我觉得上述即悖论称述中的计算方法值得我们学习。
请大家分析一下。
打得我累死了……:lol:

[[i] 本帖最后由 jidongshou 于 2006-8-27 22:34 编辑 [/i]]

按上述解题方法，蠕虫爬了1/100+1/200=3/200,但是，2秒内，蠕虫爬了2cm,绳子长为2m,
其实2秒内蠕虫爬了全长的2/200=1/100,

这里有没有问题呢,2秒内虫子爬2cm?要知道,整根绳子变长为2m,那从起点到虫子现在位子那段绳子是否还是2cm?

这是一个值得讨论的问题
但可以这么假设，哪怕橡皮绳长1m,是每端长0.5m，照此说，蠕虫离绳子头距离是：
二秒：52/200
也不是3/200……
不过这样好像爬得更快

[[i] 本帖最后由 jidongshou 于 2006-8-27 19:53 编辑 [/i]]

你的想法是错误的,因为绳子是均匀的,在爬过1CM后,绳子被拉长成200CM,那爬过的1CM同样也被拉长成了2CM.虫子爬过的路程会随着整条绳子的拉长而拉长.
你所说的计算方法应该是高等数学中最基本的求极限思想.

我觉得是要研究一下，我的想法是有问题

1/100[1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……+(1/2的k次方+……+1/2的k次方)]
很明显：下面的式子将上面的式子的许多数改小了，所以下面的式子比上面的式子小
我们还可以发现：下面的式子每一个括号里的和都为1/2
那么n个1/2相加为n/2，下面的式子为2的k次方个1/2相加，得2的k次方/2

很明显这是错误的, 只有K个,没有K次方个,你还在念高中吧? 要细心, 高考中谨慎比思维能力强更能得分.

就爬了1米! 呵呵
有点相对论的味道

其实并不只一米

1/100(1+1/2+1/3+……+1/2的k次方)
---------------------------------------------------------
最后那个1/2的k次方怎么得到的?
我觉得应该是(1+1/2+1/3+.....1/n),能否爬到终点其实就是求这个数列是否收敛,不收敛肯定能爬到,如果收敛收敛于大于100的数也能爬到,事实上这个级数是发散的,所以能爬到.

从另一个角度去想吧。第一秒结束前，虫爬了1cm，完成了1/100，第二秒，虫爬了2cm，线增至2m，完成了1/100，第三秒，虫爬了3cm，线增至3m，完成了1/100……………………感觉上就是永远只爬到总线长的1/100。
设y为线的长度，关于时间t的涵数为y=1t
x为虫爬过的长度，关于时间的涵数就为x=0.01t，令y=x，怎么会是t=0，奇怪～～

有点头晕……

假设绳长2cm
第一秒  爬了1   剩1
第二秒  绳长4
           爬了3   剩1
第三秒  绳长8   
           爬了7   剩1
应该是无限接近于另一端

[quote]原帖由 [i]妖狐[/i] 于 2006-8-28 13:39 发表
假设绳长2cm
第一秒  爬了1   剩1
第二秒  绳长4
           爬了3   剩1
第三秒  绳长8   
           爬了7   剩1
应该是无限接近于另一端 [/quote]

第3秒绳长8，错误，应为6。这才符合绳每秒增长2cm。

[quote]原帖由 [i]fy945[/i] 于 2006-8-28 13:50 发表


第3秒绳长8，错误，应为6。这才符合绳每秒增长2cm。 [/quote]
错,绳长每秒伸长1 cm

[quote]原帖由 [i]zhizhang[/i] 于 2006-8-28 14:45 发表

错,绳长每秒伸长1 cm [/quote]

你看清楚，我是针对12楼的数据。

1楼绳增长是每秒1m=100cm

也不是1cm，拜托看题看清楚再给别人纠错……

[quote]原帖由 [i]妖狐[/i] 于 2006-8-28 13:39 发表
假设绳长2cm
第一秒  爬了1   剩1
第二秒  绳长4
           爬了3   剩1
第三秒  绳长8   
           爬了7   剩1
应该是无限接近于另一端 [/quote]
应该是对的,不管怎么说,至少1cm虫子过不去
离终点差1cm的时候,那1cm绳子又变成2cm了,虫子下回还是差1cm到终点...所以,永远到不了终点
可以不管虫子以前到底爬了多少

对不起诸位  我审题不清  我假设的是绳子伸长一倍的情况
再次假设
假设绳长2cm
第一秒  爬了1   剩1
第二秒  绳长4
           爬了3   剩1
第三秒  绳长6
           爬了3*3/2+1=5.5    剩0.5
第四秒  绳长8
           爬了5.5*4/3+1=8.14
我想推导下去假设绳长3cm 也是成立的， 绳长100cm也是成立的
a成立  a+1也成立 那么a+n也成立

[quote]原帖由 [i]妖狐[/i] 于 2006-8-29 01:56 发表
对不起诸位  我审题不清  我假设的是绳子伸长一倍的情况
再次假设
假设绳长2cm
第一秒  爬了1   剩1
第二秒  绳长4
           爬了3   剩1
第三秒  绳长6
           爬了3*3/2+1=5.5    剩0.5
第四秒   ... [/quote]


这次就对了

楼主那道题是考察1/100+1/200+1/300+...+1/100n+...是否有极限，如果有，极限是否大于1，如果没有极限，或者极限大于1，那么蠕虫可以爬到终点；如果有极限并且极限不大于1，那么蠕虫就不能爬到终点。

事实上k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...的k是发散的(证略)，那么当n=1时的k/100也是发散的。故蠕虫可以爬到终点。

只要绳子有限长，匀速增长，蠕虫运输爬行。总能演变到k的某种线性变形……

[[i] 本帖最后由 fy945 于 2006-8-29 08:48 编辑 [/i]]

事实上k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...的k是发散的(证略)，那么当n=1时的k/100也是发散的。故蠕虫可以爬到终点。
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思路是对的但出了点小错,k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...是收敛的,因为k<1/n+1/n+......1/n=1.
1+1/2+1/3+.....1/n才是发散的

[quote]原帖由 [i]瓦灰[/i] 于 2006-8-29 09:50 发表
事实上k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...的k是发散的(证略)，那么当n=1时的k/100也是发散的。故蠕虫可以爬到终点。
-----------------------------------------------------
思路是对的但出了点小错,k=1/n+1/(n+1)+1/( ... [/quote]

我那个k是无限项之和，不是n项之和。

所以k还是发散的。

你那个k<1/n+1/n+...=1是n项，不是无限项，请明察。

也是我懒，应该写k=1/n+1/(n+1)+...+1/(n+m)+...，m充分大。

[quote]原帖由 [i]fy945[/i] 于 2006-8-29 10:29 发表


我那个k是无限项之和，不是n项之和。

所以k还是发散的。

你那个k<1/n+1/n+...=1是n项，不是无限项，请明察。

也是我懒，应该写k=1/n+1/(n+1)+...+1/(n+m)+...，m充分大。 [/quote]
你的写法有是问题的,你没有定义n是什么,如果n也是无穷大呢?就会出现三种情况k→0,k→常数,k发散.

怎么证明1+1/2+1/3+1/4...是发散的?

[quote]原帖由 [i]KYOKO[/i] 于 2006-8-29 10:59 发表
怎么证明1+1/2+1/3+1/4...是发散的? [/quote]

这个，就当是已知定论好了。没必要再去证明。没必要重复古人的工作。

[quote]原帖由 [i]KYOKO[/i] 于 2006-8-29 10:59 发表
怎么证明1+1/2+1/3+1/4...是发散的? [/quote]
这是很常见的一个级数,叫调和级数.
把e的x次方展开成幂级数,e的x次方=1+x+(x~2)/2!+(x~3)/3!+......+(x~n)/n!+......
所以e的1/x次方>1+1/x.
两边取对数得1/x>ln(1+1/x).
所以1+1/2+1/3+......+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+......+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+......+ln[(n+1)/n]=ln2x(3/2)x(4/3)x......x[(n+1)/n]=ln(n+1)
当n→+∞时,lim[ln(n+1)]→+∞,所以1+1/2+1/3+.....1/n是发散的.

证明方法都有许多种.

1/x的积分ln(x)无界；

简单代数法(n=2的k次方)：
  1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n]+...
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...+(1/2n+1/2n+...+1/2n)+...
=1+1/2+1/2+1/2+...+1/2+...
=∞

如果把蠕虫换成光子，那么我们得到的就是广义相对论中的奇点。

[quote]原帖由 [i]jidongshou[/i] 于 2006-8-28 08:48 发表
其实并不只一米 [/quote]


不断拉长的橡皮绳可以看做一个不断放慢的时空.虫子在这个时空是爬了不止1米, 但是如果以我们的时空为基准,如果虫子能爬到终点的话,就只爬了1米.....