最最基本的物理题——这回是我的物理老师傻掉了！！

前几天跟我的老师讨论一道物理题。不是什么难的题目，大家踊跃发言，所谓“相聚甚欢”，但是到了最后一步，却被一个初中的物理概念卡住了！！而且它也是一个数学问题。

简化题目中其他的步骤，问题是这样的：如果一个力作用到一个斜面上(力所作用的面与力的方向不垂直)，这个面所受的压强是怎样的？大家都知道P=F/S，但这是就表面与力的方向垂直而言。当力与其作用面互称角度的时候，一般的想法应该是将力作矢量分解。就是分成垂直于表面的力和平行于表面的力。这样一来压强P=Fcos a/S(设a是斜面于水平面的夹角)。

可是从微观的角度，我们得到了一个不同的结论。我们把作用在该表面的力想象成无数条作用线的情况。每“一条”力作用在一个很小的面积上，这个很小的面积可以可以被看作为与力的方向垂直的。我们把作用在各个微小面积的压强加起来，得到了总的压强。这样一来，面积就只剩下了水平方向上的面积。即P=F/Scos a！

这两个答案明显是不一样的。至此这个问题已经转化为了一个数学问题。我们可以选择将力进行矢量分解，也可以将面积进行矢量分解，使其成为分别垂直和平行于力的方向的两个量。由于面积=位移的乘积，面积应该也可以看作是矢量。[color=Red]当我们在用P=F/S的时候，到底是那一个被分解？[/color]

如能解答，万分感谢！附原题仅供各位娱乐：
[color=Green]太阳系中的粒子受到太阳的万有引力和太阳光的辐射力的共同作用。设该粒子是密度为ρ的球体且所有入射光线被吸收。(1)证明所有小于某临界半径R的粒子会从太阳系中脱离出去。(2)计算R的值，注意R值与粒子和太阳的距离无关。(R可用下列物理量表示：太阳的功率P，光速c，引力常数G，太阳质量M，粒子密度ρ)[/color]

[[i] 本帖最后由 Z_Artemis 于 2006-8-25 23:25 编辑 [/i]]

楼主的问题和以下问题“基本”等价（基本的意思是，想明白以下问题，也就能想明白楼主的问题了）。
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这个序列无限下去，最终成为一条斜线。每个序列的总长度都是２，但斜线的总长度是sqrt(2)。换句话说，这个序列的长度为 2,2,2,...（到无穷后）, sqrt(2). 由于极限和序列出现不连续性，所以对于极限的长度问题，不能取序列长度这个数列的极限，而应该单独考虑．楼主提出的关于压强问题，其实也是这个原理，在极限的位置出现了不连续性．

这个现象在 L^2 norm 的情况下普遍存在。而恰恰 SO(n), SU(n) 等群又只能在 L^2 norm 下保持 isometry 特征（可以把这些群想象成 n 维球体，L^2 norm 想象成勾股定理关于斜边的长度）。至于说为什么大自然选择了L^2做物理测度（i.e. 为什么自然界的球体看着像圆的，而不像方的？），这个在量子场论上还是一个未能彻底解决的难题．

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-25 23:41 编辑 [/i]]

:(这里是轩辕~~不是课堂。。。
pls elaborate...to be more reader-friendly...

物理忘的差不多了
似乎[color=red]这个很小的面积可以可以被看作为与力的方向垂直的[/color]这个理解有问题,又似乎[color=red]我们把作用在各个微小面积的压强加起来，得到了总的压强[/color]不对,压强是单位面积的力啊,怎么对面积积分还是得到压强呢.
思维混乱了,召唤牛顿来解决吧

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2006-8-25 23:30 发表
楼主的问题和以下问题“基本”等价（基本的意思是，想明白以下问题，也就能想明白楼主的问题了）。
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这 ... [/quote]
看的不是很明白

分成极小的时候错了

对与第一个问题,你的表述是错误的,事实上压强与斜面的倾角无关,只与力与作用面的夹角有关,很明显的例子,如果力与作用面的夹角是89度(接近垂直)那么压强还等于你所说的P=Fcos a/S吗?
所以说对你的第二个问题我是模糊的,隐约觉得你犯了数学上一个低级错误,不知道你是怎么相加得结果的,分为无穷小量后求和应该是求定积分,根据牛-莱公式有个求原函数的过程,所以结果应该是一致的.
你的物理老师可能是被你给搞迷糊了,呵呵.

[[i] 本帖最后由 瓦灰 于 2006-8-26 10:05 编辑 [/i]]

求积分也没用，因为数列根本不收敛。

为什么要把简单的问题搞复杂呢?其实第二个问题就是个分成小量后求斜面面积的积分,你放到直角坐标系里,就会很容易的发现你的积分区域选错了.

全是猛人，

[quote]原帖由 [i]瓦灰[/i] 于 2006-8-26 18:47 发表
为什么要把简单的问题搞复杂呢?其实第二个问题就是个分成小量后求斜面面积的积分,你放到直角坐标系里,就会很容易的发现你的积分区域选错了. [/quote]
简单的计算谁都会做，关键是是否能理解为什么一个{2, 2, 2, 2, .... }的数列，它的“极限”会成为 sqrt(2)。这也正是楼主问题中出现疑难的环节。

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-27 01:16 编辑 [/i]]

太强了~~公主不是在澳洲那鸟地方吗？
鄙人地理不好~~但从发贴的时间来看，少说也有3点了吧……
为公主的精神鼓掌~~！！:D

回应“瓦灰”
第一个问题：是我的疏忽。因为我们在讨论的时候一直假设里是在垂直方向上的，所以产生了误解`~
第二个问题：好像不是积分吧……？只是把许多的等量加起来……

回复 #1 Z_Artemis 的帖子

我们[color=Red]把作用在各个微小面积的压强加起来，得到了总的压强[/color]。这样一来，面积就只剩下了水平方向上的面积。即P=F/Scos a！

为什么作用于不同承受面的压强可以相加呢？压强是相对于一个特定的承受面而言的。压强其实是个平均压强，
令一个作用线对它的承受面产生的压强是 f cos a / s
那么对斜面的压强(平均压强)是 sum( f cos a / s * s ) / sum(s) = F cos a / S,  与未分解前的计算是一样的。

回复 #11 天宫公主 的帖子

不明白为什么这个序列无限下去，最终成为一条斜线。它只是更近似斜线而已。我认为近似和极限是不同的概念。这个序列无限下去，它的总长度恒定是2， 并没有出现趋近的行为，也就没有“极限”。倒是单一段的长度趋近为零，但不可能为零，就是原曲线的微分。

[quote]原帖由 [i]Z_Artemis[/i] 于 2006-8-27 01:09 发表
太强了~~公主不是在澳洲那鸟地方吗？
鄙人地理不好~~但从发贴的时间来看，少说也有3点了吧……
为公主的精神鼓掌~~！！:D

回应“瓦灰”
第一个问题：是我的疏忽。因为我们在讨论的时候一直假设里是在垂直方 ... [/quote]
积分的思想就是分成小量后相加,小量可以相等也可以不等,如果不等需遵循一定的函数关系,这里到可以不用积分但叫你用积分思想的原因是,你可以更直观的看到自己错在哪里.在求积分时,积分区域应该是斜面在xOy面的投影部分,而你用的区域是斜面的面积.

个人感觉是分成微元的那一步错了，把一个平面看成了锯齿面。但是那个锯齿面的极限又是平面，真邪恶口牙

[quote]原帖由 [i]lcarron78[/i] 于 2006-8-27 05:09 发表
不明白为什么这个序列无限下去，最终成为一条斜线。它只是更近似斜线而已。我认为近似和极限是不同的概念。这个序列无限下去，它的总长度恒定是2， 并没有出现趋近的行为，也就没有“极限”。倒是单一段的长度趋近 ... [/quote]

楼梯蹬的样子，如果写成函数表示的话，是： y = [nx]/n (同时把竖着的跳跃部分连起来)。当 n -> 无穷，y -> x，该线倾向于一条斜线。

证：对任意 epi > 0, |[nx]/n - x | = |[nx] - nx|/n. 对于任何实数 a, 有|[a] - a| < 1，故而 |[nx] - nx|/n < 1/n. 因此，令 M = 1/epi，则对于任意 epi > 0, |[nx]/n - x| < epi 对于所有 n > M 成立。由于 M 只是关于 epi 的函数（与 x 无关），因此 [nx]/n ----> x 是 uniform convergent （一致收敛）。

从这个角度上，当楼梯蹬的蹬数倾向于无穷，它是可以收敛成一个斜面的。但有趣的是，在收敛之前的任何一个瞬间，楼梯蹬的总长度为2，而收敛后的总长度突然降到 sqrt(2)。

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-28 21:39 编辑 [/i]]

原来convergent译成"收敛"。

我过来补了一下物理知识。   :Th

uniform convergent=一致收敛……？
建议轩辕来个英汉互译版，由公主领节度使:qDD+

[color=Purple]越说越玄啊！

楼主反的错误就时初中是见过的，搞清楚压强的定义，垂直于作用面，第二个解是由于分析错误变成垂直于水平面了，方向错了。对于简单问题高等数学请谨慎使用，尽量用简单的思维处理，复杂的工具不一定最有效

公主殿下的意思我理解可能就是二象性（波粒，连续和间断，二元辩证），可以导致两种结果的不确定性，那个的确可能是永世难题啊……但与楼主那个应该没关系[/color]

这不是什么永世难题，它无非表明了拓扑收敛和测度收敛两者无关而已。当然，在物理上如何彻底的解释，为什么初等粒子会自然的去选择 L^2 测度，而不去选择别的测度，也许是个很值得探讨的问题。

[color=Purple]啊
我是说 二象性 数千年前就被太极图描述的那个普遍存在
任何确定性的矛盾解决应该都是时间问题
你再往下专业的说我就听不懂了
糊里糊涂长点见识[/color]

压强为无穷，一般来说，我们平时对物理学的学习是抽象化的前提下进行的。楼主说的这种情况下，应该无视受力面积，压强的计算就很大了，也没有人会去考滤这个问题，一定要问个清白，要么是物理学家他们的事，要么是爱钻牛角筋人的事。

[[i] 本帖最后由 gsyzj 于 2006-9-30 08:40 编辑 [/i]]

对于楼主的问题
可以用尺度的问题来说明
譬如牛顿的力学公式只能在低速度大尺度的宏观条件下使用
速度如果大到一定程度
牛顿的力学公式就会有误差的
具体的速度值我也不清楚
这个时候就要用到相对论
而往小的方面想
也是有一个同样的问题的
在微观的领域我们处理力学的问题的时候
用到的是量子理论

压强是定义出来的,用单位面积受压力大小就可以了,(既F/S,相互垂直).压强累加属于思路混乱.压力能累加,压强不能用累加.用积分做,是大材小用.不过答案作出来是一样的.小面积上承受的压力除以小面积就是压强,不是小压强.

公主的例题确实有些奇怪,无限下去就是一条斜线

正多边形无穷下去就是一个圆,可面积就是越来越接近圆面积的

没什么奇怪的啊，一套是测度论的公理，一套是点集拓扑的公理，两个如果没有任何冲突才奇怪呢。要真的没有任何冲突，为什么不合并成一套公理啊？

公主你真牛强，我是你FANS

公主讨论的是数学问题,楼主的是物理问题

实际上是两个不同的....

楼主的问题,实际就是对"压强"的物理意义的理解

公主的问题,是序列的极限问题

这个。。。说不同也可以说不同，说相同也相同。。。关键是我们不知道为什么物理世界选择了 L^2 测度作为我们习惯的“距离”。这个问题无论在数学界，还是物理界都是没有解答的问题。记得是波尔吧，曾经说过“如果谁认为自己懂量子理论，谁就是个大傻瓜。”。。。这其中也包括能否对 L^2 测度问题，给出一个合理的解释。

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2007-6-5 22:50 发表
记得是波尔吧，曾经说过“如 ... [/quote]

额，谁以为自己懂量子力学，谁就是个大傻瓜。这话我也听过。忘记谁说的了

我只记得：爱因斯坦说上帝老人家不掷骰子，波尔说上帝掷骰子。

[quote]原帖由 [i]边城玫女[/i] 于 2007-6-5 23:48 发表


额，谁以为自己懂量子力学，谁就是个大傻瓜。这话我也听过。忘记谁说的了

我只记得：爱因斯坦说上帝老人家不掷骰子，波尔说上帝掷骰子。 [/quote]
爱因斯坦说的是上帝掷骰子也是有规律的

我认为我可以给LZ一个满意的、充分的答案。


楼主的错误，是把现实的力和虚拟的（虚拟的分量）混为一谈了。把一个现实的力分解成2个分量这样的分析方法，很容易引起误解，就象LZ那样。

关键是：分解出的分量力是虚拟的，非现实的，而虚拟的力是没有现实效果的。

实际上，斜面上的物体受到了2个现实的力：重力和斜面的支撑力，这2个力的合力等于重力在斜面方向的（虚拟）分量。严格地说，“斜面上的物体沿着斜面的加速运动是重力沿着斜面的分量作用的结果”是个错误表述。LZ可以自己看看这个“物体沿着斜面的加速运动”里，哪些力有现实效果，哪些“力”没有。

斜面受到物体的作用力，就是物体的压力，它垂直于斜面，并且“在数值上等于”物体重力的垂直于斜面的分量。它是斜面给物体的支撑力的反作用力。这是一个现实的力，你可以把它分解成多个虚拟的力，但这些虚拟的力分量（正包括了LZ所说的那个分量）是没有现实的效果的。

LZ说：“一般的想法应该是将力作矢量分解。就是分成垂直于表面的力和平行于表面的力”，这是LZ的错误所在。因为“虚拟的力（分量）没有现实效果”。

再看楼主的原题，就是太阳辐射作用下的粒子。粒子受到的太阳辐射压力和粒子的表面积成正比，粒子受到的万有引力和粒子的体积成正比。体积是半径的3次方，面积是2次方。所以在半径很小的时候，面积的曲线要逐渐超过体积的曲线，二者会有个交点，这就是本题的答案。

[[i] 本帖最后由 ptcn 于 2007-6-16 15:41 编辑 [/i]]

体育出身只看懂中学物理水平的现任物理教师知趣而又羞愧的扎个猛潜过并留下一溜惭愧的水花:lol::lol:

积分区选错了,到空间直角坐标系中很容易发现