从Poincare Conjecture浅谈拓扑学

从Poincare Conjecture浅谈拓扑学

无意中搜索到这个地方，居然有人谈数学，呵呵。Poincare的科普文章很多，但许多都非常不严格。现在在这里稍微严格一点点但还是很通俗地讲一下。

有人说数学就是研究变化下的不变量，那么拓扑学就是研究拓扑空间【这里不谈拓扑空间的定义了】在所谓homeomorphism【同胚】变化下的不变量，即映射函数和其反函数都是连续的。简单地说，二维的情况就像那个橡皮膜的比喻，只要不拉破，不把两个相距远的点粘起来，怎么捏都行。不过，我们经常把范围更缩小不少，以性质好得多得的CW复形或是流形做为研究对象，并研究弱些的homotopy【同伦】，通俗地说同伦可以把空间捏得更夸张。同胚的一定同伦，同伦的不一定同胚。所以同伦要好研究些。譬如，在同伦下整个实心球可以被压成一个点，所以是一样的，而在同胚下不一样。

那么很明显直觉告诉我们，关键在于“洞”。只要不产生洞，不消灭洞，拓扑就不会变。

但什么是洞呢？

洞非常复杂。我们看洞的例子：例如在一张纸上戳一个圆洞，是洞；一个面包圈，里面空心，是洞；球面里面，是洞；在一个实心球里面挖掉一块打着结的空间【没学过拓扑的人恐怕很难想象得到会有这种东西.......有人用这个来设计玩具】，也是洞，而且这时候洞与洞之间又以复杂的方式纠缠在一起，很麻烦。

现在先指出一点在大多数科普文章中没有提过的重要事实：有的洞可以被圈套住，有的洞不能，需要用更高维的东西来套。在纸上戳的洞，很显然可以拿一个圈套住；面包圈里面的空心，也可以拿圈套住，套在那个环上面就行了；但球面的洞用圈是套不住的，无论你怎么套都还是可以滑下来，重新缩成一个点－－那么怎么才能套住它？所谓“圈”其实是S^1，一维球面。一维球面套不住，我们用二维球面套，即S^2去套就可以套住。

那么Poincare猜想是说，如果某个三维流形没有可以用圈套住的洞，而且Compact & Boundaryless，那么就是球面－－同胚于球面。

Compact & Boundaryless是另一个大多数科普文章忽略的重要条件，直观地说，就是流形本身是封闭的，没有边界。例如实心球就不满足条件，因为虽然上面没有可以用圈套住的洞，但它有边界，边界是外面的球面。又譬如一个无限大的实心空间【例如R^3】本身里面啥洞也没有，事实上挤得满满的，什么有意思的东西都没有，但它不封闭。所以说实话要举出一个直观的满足这个条件的三维流形是不可能的......

回过头来，我们看Poincare的这个提法很有趣，因为我们刚才看到，即使没有用圈套得住的洞，还是可能有用高维球面套得住的洞。譬如二维球面，里面没有”一维洞“，有一个”二维洞“【这是不规范的说法】。三维球面【没学过拓扑的人恐怕很难想象什么是三维球面......三维球面就是Poincare猜想里面关心的东西，是四维实心球的边界】，里面没有”一维洞“和”二维洞“，有一个”三维洞“。说不定某个变态的东西里有许多“高维洞”，但没有”一维洞“【用严格的语言说：has a trivial pi_1】，那么它就可以否决Poincare猜想了。另外也可能虽然同伦下和三维球面一样，但是同胚下不一样，事实上单是homotopy group全部相同都不一定同胚，需要还有可以induce group isomorphism的连续映射才行。

现在我们继续谈洞，除了上面的这个定义【事实上是Homotopy的范畴】之外，还有一种弱些的定义，它是Poincare最初的想法，后来称为Homology【同调】。这个定义非常妙，是这样的：

1. 首先我们定义一个概念：Boundary【边界】。譬如，一个实心球有边界，边界就是最外面的表面。但是，球面本身是没有边界的－－想象你是其上的一只蚂蚁，那么你无论怎么走都是走不到边的。

2. 定理：边界没有边界。这是数学中最美妙的结果之一，影响深远。请仔细体会。

3. 既然如此，我们应该研究什么呢？如果你能想到应该研究什么，那么你是天才：既然边界没有边界，那么没有边界的东西是否一定是边界呢？答案是：no。没有边界的东西不见得是其它东西的边界，它还可能是洞！我们拿球面做例子，球面本身没有边界，但球面又不是任何东西的边界【不要说球面是球的边界，因为此时我们的”整个世界“是我们的研究对象：那个球面】，所以它一定“套住”了一个洞。

Homology比Homotopy弱。Poincare一开始认为Homology上没有洞，且compact + boundaryless就是球面了，后来很快就找到了反例【反例不难，但还要讲群论，不讲了，呵呵。简单地说，因为homology是homotopy的abelianization，那么找一个以perfect group为homotopy的形体则homology就是trivial】。

Poincare猜想一开始大家都觉得很难办。三维和四维空间的拓扑相对来说比较麻烦，大家都知道原因是活动空间小，操作不容易commute，高维反而稳定下来。那么大家先做高维的，Smale很久以前用morse theory证了n>=6的情况。morse theory是很强大的东西，可以给出将manifold切成cell / handle的办法，可以算同调，数曲线【instanton】条数，可以拿来研究lie group的拓扑，geodesic的情况等等棘手的问题。八十年代witten搞了篇文章后又升温，现在其在无限维上的应用floer homology是很热的话题，和物理的联系紧密，gauge theory, string, etc.  例如Seiberg-Witten，Gromov-Witten，Chern-Simons-Witten等等。

[[i] 本帖最后由 kanepeng 于 2006-7-25 19:34 编辑 [/i]]

恩,通俗易懂的科普小文章啊!
我想起年前曾经看过的印象很深的另外一个文章.如何在球面体胚土上种植蘑菇.

欢迎有缘而来的kanepeng
欢迎这样通俗易懂的数学小文章

希望lz继续加油 刷色鼓励下

欢迎啊，这边其实有不少用户热衷于数学的。:unsure::unsure::unsure:

其实拓扑学本身有两大分支，严格的说一个应该叫集合拓扑（研究集合上在各种公理下的各种拓扑空间的，很多及其变态的例子都是从这里来的），一个叫流形拓扑（研究看着比较“正常”的几何形状的拓扑性质－例如，至少要 Hausdorff 等等）。由于后者由于它在几何，物理，等领域的重要意义，它在现在的学术界里占有主要的发表量。有时很多人甚至忘记了，他们搞得拓扑其实只是流形的拓扑。

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-7-25 07:49 编辑 [/i]]

一般是研究CW complex或manifold。点集拓扑里面的变态构造太多了。

Poincare猜想一开始大家都觉得很难办。三维和四维空间的拓扑相对来说比较麻烦，大家都知道原因是活动空间小，操作不容易commute，高维反而稳定下来。那么大家先做高维的，Smale很久以前用morse theory证了n>=6的情况。morse theory是很强大的东西，可以给出将manifold切成cell / handle的办法，可以算同调，数曲线【instanton】条数，可以拿来研究lie group的拓扑，geodesic的情况等等棘手的问题。八十年代witten搞了篇文章后又升温，现在其在无限维上的应用floer homology是很热的话题，和物理的联系紧密，gauge theory, string, etc.  例如Seiberg-Witten，Gromov-Witten，Chern-Simons-Witten等等。

morse theory本身的idea比较简单，虽然具体操作颇有难度。之前恰好写过介绍性的文章，这里复制粘贴：

考虑如何将一张椅子靠椅子腿立在平地上【我们禁止它躺下去】。那么有三种方法：四条腿立着，两条腿立着，一条腿立着。我们说这三种情况都对应到Hamiltonian的critical point，就是一阶导数等于0的点，或者说d=0的点也行，所以都是系统稳定时可能的状态。但是很明显三种情况的稳定度不同，第一种很稳定，第二种有一个不稳定方向，第三种有两个不稳定方向――事实上它是一个极大值，很不稳定。所以我们区别对待，他们的Morse index分别是0,1,2。所以有1个index 0的点，4个index 1的点，4个index 0的点。看到这么有趣的事情我们已经可以肯定会与configuration space(只考虑静力学)的拓扑有关，那么事实也是这样。只考虑静力学的好处是不用碰symplectic，那么此时Hamiltonian无非是一个从configuration space到R的map，那么morse theory的思想是：某个manifold到R的map的critical point的情况可以揭示这个manifold的拓扑。

很多时候critical point是一个submanifold，特别是我们为了方便计算设置比较对称的potential的时候，譬如自发对称破碎那个草帽型的potential在整个凹的一圈都可以稳住，这时候要用morse-bott。但一般的情况【即，对于一般的metric来说】critical point是non-degenerate的，一个一个孤立的，就是d等于0但det［Hessian］，which叫discriminant，不见得等于0，二阶导数dx_a^dx_b构成的matrix叫Hessian。满足要求的map叫Morse Function。

我们注意一个事实：椅子要倒的话无论向哪个方向倒都肯定会倒向稳定点为止。于是我们知道在critical point之间存在flow，基于明显的原因叫gradient flow。如果两个点的index相差1，那么flow显然就是0维的，我们可以数具体的倒的方法有几种【如果manifold是无限维，例如在floer中，有可能是无限种】，例如一条腿倒到两条腿有一种办法；如果两个点的index相差2或以上，那么flow是差值减1，例如从一条腿倒到四条腿的方向不少，但是我们一定可以continuous deform它使得它经过一些中间点，每次index减少1：先倒到两条腿，再倒到四条腿。物理学家觉得这个像quantum tunneling，把这些flow叫instanton，因为这个很令人想起path integral中的instanton。看到这里又会令人觉得其实不必取d=0的点作为critical point，随便选定一个close的1-form在它的零点间也有flow，核心的道理是：若想在R里回到原处【零点】，那么不能一直向一个方向走。不过我们知道在S^1里可以一直朝一个方向走，因为它compact，那么S^1-valued morse theory复杂很多，可以lift到universal cover上面去再研究。那么这些是Novikov的想法。

这个例子里面的configuration space具体是什么样子，不大适宜用来说明。我们看经典的例子，一个map: X->R，X是torus，将它立起来嵌入R^3来induce一个metric，R值是每点的高度。那么从下往上index分别是0，1，1，2。我们发现每经过一个index为n的 critical point就等于粘上了一个n-cell，或者说是n-handle。粘的方式是粘到边界上，原因从几何直观上可以看得很明白。所以torus可以由1个0-cell，2个1-cell，1个2-cell组成。这个很有趣，因为我们知道n-cell的数量显然对n-th singular homology group的dimension给出了一个上限。所以有一个morse inequality。这里我们希望在index相等的点之间不存在flow，如果有的话略做perturbation干掉它。立着的torus的上下两个index 1之间的点间有flow，我们扰动一下，譬如倾斜一下，结果是每个index为1的点接收两条从2来的flow，给出两条到0的flow。

[img]http://www.akikoz.net/~andrzej/Mathematica/IMS2001/Morse/Images/index_gr_69.gif[/img]

我们可以进一步细化morse inequality，得到Morse homology，同构于singular homology。方法大致是先选择一个orientation，然后k-chain是index为k的点span的Z-module，d(x) = ［x和y之间的flow的条数，符号由定向决定］ * (y)，我们可以检验一下dd=0，那么这个dd=0的原因就是因为定向之后正反恰好可以抵消。我们看立起来的torus的例子：首先index2的点伸出的四条两两抵消【定向后四条恰好是两个圈】，故H_2 = Z；index1的两个点伸出的也是两两抵消，故H_1还是free的 = Z x Z；index 0的一样，H_0 = Z。

如果X是躺着的torus，那么critical manifold是下上两个S^1，它们的index分别是0和1，我们知道S^1是1维的，于是我们用[n, n+dim]来记录这种情况，就是[0,1], [1,2]，此时flow显然也是1维的，要用morse-bott来算homology。但morse-bott比较麻烦。

通过合理设置Morse function，我们可以使得它是self-indexing：所有index=n的点都映射到n上。那么我们可以把一个3-manifold切成两半，一半是[0,3/2]，一半是[3/2,3]，这叫Heegaard splitting，每一半都是一个D^3加上一堆1-handle，叫handlebody of genus g，这个就和braid theory相当像了。从category的角度看braid也的确capture了3-groupoid的精髓。很明显，我们接下来应该研究这两边是怎么连起来的，有什么类似braid move的move，这是Heegaard diagram。

[[i] 本帖最后由 kanepeng 于 2006-7-26 15:06 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]kanepeng[/i] 于 2006-7-25 20:02 发表
一般是研究CW complex或manifold。点集拓扑里面的变态构造太多了。 [/quote]
不知道你对弦理论有多少研究，有的话希望能在这方面什么时候切磋切磋。

P.S. 我研究课题的一部分在弦理论领域里有些应用: loop space cohomology + representation theory.

对string没什么研究。

loop space cohomology 和 representation theory 怎样联系？

不好意思，你误会了。我的意思是 loop space 的 cohomology + representation theory.

Loop space的拓扑的确和string联系紧密，但还没有找过这方面的资料看过。

另外朱熹平的论文全文在网上了：
[url]http://www.ims.cuhk.edu.hk/~ajm/vol10/10_2.pdf[/url]

[[i] 本帖最后由 kanepeng 于 2006-7-28 02:36 编辑 [/i]]

嗯，看到了，谢谢。

田刚似乎也写了一篇文章，个人感觉更有利于初学者阅读（尤其是他的第0章）：
[url]http://arxiv.org/abs/math.DG/0607607[/url]

另外，下面这篇文章也可有利于了解背景。
[url]http://arxiv.org/abs/math.DG/0605667[/url]

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-7-29 00:16 编辑 [/i]]

田刚是个欺世盗名之徒

田刚的成绩还是应该肯定的，比如：在Kahler-Einstein度量研究中做了开创性工作，完全解决了复曲面情形，并发现该度量与几何稳定性的紧密联系。与人合作，建立了量子上同调理论的严格的数学基础，首次证明了量子上同调的可结合性，解决了辛几何Arnold猜想的非退化情形。田刚教授在高维规范场数学理论研究中做出杰出贡献，建立了自对偶Yang-Mills联络与标度几何间深刻联系。这些工作很大程度上，奠定了当今弦理论的理论基础。我个人的学术兴趣，在很大程度上也受了他的影响（去年7月在伯克利）。

不过在庞家莱猜想这件事上，他显然和丘成桐的立场完全不同。

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-7-29 00:39 编辑 [/i]]