浅议庞加莱猜想

最近大家在射虎，茶馆等区都看到了，有关我国科学家朱熹平和曹怀东突破百年难题的帖子。该研究成果并且被哈佛大学教授，著名华裔数学家，费尔茨奖章得主，丘成桐教授所认同。在美国出版的《亚洲数学期刊》６月号以专刊的方式，刊载了长达３００多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。从去年９月底至今年３月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期３小时的时间——连续２０多个星期、共约７０个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的５位数学家进行讲解，回答了专家们提出的一系列问题。此证明并且在6.19 - 6.24北京的世界级弦理论大会上向全球公开，一时在各界引起了轰动。那么下面让我先用通俗的语言，介绍一下此猜想的历史和背景。另外，还对会弦理论做一个简单的介绍，最终目标是希望能把这两个概念连接起来。最后，我们也可以讨论一下该猜想严格定义，以及“它具体为什么那么难”？Hamilton, Perelman, Zhu/Cao 他们之间的工作到底有什么不同？具体又都是贡献了哪一部分呢？


一，介绍
在进入深入探讨之前，先介绍一下命题：[color=blue]任何一个封闭的三维流形，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球[/color]－－这就是法国数学家庞加莱于１９０４年提出的猜想。

下面我们探讨一下这个猜想到底是什么意思。首先，我们可以把流形想象成任何一个光滑的曲面。那么在一些曲面上，我们可以随便画一条曲线，最后把该线的头和尾都连接起来形成一个圈。对于这个圈，我们可以牵着线头来把它拉小，甚至把它拉小到只剩下一个点。关于这个特征，我们称之为“简单联接”（simply connected）。但比如在另一些区面上，这个特征就不能实现，例如 T = 一个面包圈（左图）
[img]http://www.gdv.uni-hannover.de/schools/competition/2001/img_local/torus.jpg[/img][img]http://www.axialis.com/tutorials/misc/aqua-sphere.jpg[/img]
它的表面是光滑的，所以我们可以理解它属于流形的一种。但如果我们横腰画一条线，让这条线缠着面包圈走，那么只要缠的总次数 >= 1，该线就无法被收缩成一个点（除非把面包圈切断）。但如果流形本身是个球（右图），或者是个平面，那么我们不难想像“简单连接”的这个特征还是可以满足的。从通俗的角度上看，此特征的唯一可能失败的理由，就是如果流形本身有很多的洞，例如面包圈中间那个孔，或者如同克兰瓶中间的那个洞。（图）这里提到的“洞数”，如果把它严格化了之后，就是一个流形的“欧拉特征”。它在拓扑学中是一个区分不同类型曲面的重要工具。
[img]http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/LawsonKlein.jpg[/img]
下面，我们为了排除无穷大有可能给我们的一些麻烦，我们将假设所有的流形都有封闭性(compact)。所谓封闭性大体上讲，它的意思就是存在一个足够大的箱子，使得我们的流形可以完全装在该箱子里面。那么从这个角度上看，平面这个情况就被删除了，因为平面是无限的。我们的直觉告诉我们，球体是唯一的一种封闭的流形，满足“简单连接”性的可能。那么事实是否如此呢？这个问题就是困惑了数学界整整100年的庞家莱猜想！

这里还要声明一下，为了让大家理解着方面，我举的例子全都是用三维空间里的二维流形，庞猜想在这种情况并不难证明。几何学在十九世纪末发生了翻天覆地的变动。以黎曼为首的一些新学派，认为没有必要假设一个曲面，就一定要被另一个更高维平面空间（欧氏空间）所包含。曲面本身应该是一个独立的个体，而当我们说这个曲面是三维的时候，我们实际的意思是它的切面是一个三维空间（流形就是靠这个特征定义的），而一个普通三维空间里的曲面，它的切面则是二维的。希望以后写“三维曲面”的时候，举的二维曲面的例子不会误导大家。

也许一些朋友对庞加莱猜想的背景有些了解，庞加莱最初的猜想是：任意维的封闭流形，如果它有“简单联接”的特征，那么它一定可以在“不被撕破”的情况下，被“捏”成一个N维空间的球体（i.e. homeomorphic to N-sphere）。这个命题当N = 1的时候，情况显然，因为曲线和流形之间完全没区别。N=2的情况，庞加莱自己在写出了猜想前，就已经证明出来了。或者说，也许是N=2这个例子让他联想到，更高的 N 该结果是否也能成立。N > 5 的情况在50年代被解除，N = 4 随后不久也被解答。那么问题是为什么单单在 N = 3 的时候，该猜想那么难呢？这个原因还在于“简单联接”的定义，是用一个一维曲线来测量连接性。而一维曲线本身，又恰恰只有在三维空间里才可以打结（左图）。
[img]http://www.english.upenn.edu/~jenglish/Courses/501/knot2.jpg[/img]
在二维空间，因为空间太小，不能打结。如果去四维空间以上，那么因为空间太大，打出来的任何结都可以被轻松松开。只有三维空间，我们才能用一维空间的曲线来做结。当然现代结理论中，已经深入到了看怎么用 M 维曲面在一个 N 维流形中做结。我个人的一个猜想，数学界里给“homeomorphism（拓扑曲面等价条件）”做定义的时候，应该是19世纪末。当时应该并没有把结的问题考虑进去，而结理论一直到20世纪才开始有了一些初步的发展。这个问题在庞猜想的难度问题上，体现得很明显。

庞加莱猜想和黎曼猜想、霍奇猜想、杨振宁/米尔理论等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。２０００年５月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。


二。拓扑学的基本介绍

在第一部分，我们了解了庞猜想的一个轮廓，那么它在整个数学界到底起到了一个什么作用呢？说到这里，我们就不得不简单的介绍一下拓扑学到底是在研究一些什么样的东西了。简单的说，拓扑就是“橡皮筋版的几何”。在几何中，所有的东西都是硬邦邦的，我们不能把直线折弯，我们不能随便把圆的说成方的，等等。但在实际应用中，我们却经常发现几何学总体来说“太硬”了，把很多非常简单的原理，不必要的复杂化。

我们先看一些现实生活中的例子，如果谁是短发的话，请你摸摸自己的后脑勺，是否发现有一个旋？如果你是长发的话，也许你的手续要沿着头发根摸，但这个旋还是可以摸到的。也许很多人会认为，人体的基因控制头发这么长，但其实这就是一个典型的数学问题。如果你不信，你可以随便拿一个球，把球上粘满了毛，看看你有没有什么办法能让旋不出现？这里又涉及到了拓扑问题，如果你拿一个球，那么无论你怎么梳理，球上的毛永远会出现旋的。但如果你拿一个面包圈，那么你可以把所有的毛都梳向一个方向，梳一圈最终还是可以梳回来的。这样就可以保证不出现任何旋。为什么我说这个是拓扑问题呢？因为无论是面包圈还是球，只要不撕破的情况下，无论你怎么捏它，让它变形，最终能否在它身上粘满无旋的毛发，这个问题的结果都不会改变的。

再举一个更简单的例子，大家每天睡醒，从自己的床上爬起来出门，我们是通过什么找到门的位置呢？按几何学的理解，我们应该有一个行进的角度，加上一个行进距离，只要这两个参数不出问题，那么我们就可以从门走出去。但实际生活中，我们并不需要计算这两个参数，就可以轻松得找到门的位置。因为门的拓扑特征和墙的其他部位不一样，门的位置有个洞，别处没有。不管门的形状是方的还是圆的，我们所找的就是墙上有洞的位置。这个特征在工程学中也经常用到，一些现代的 drones 和小型机器人，在室外可以靠GPS，但在室内一般就是用拓扑特征来分辨自己的位置。

从上面的两个例子上看，拓扑学主要解决的是形状的基本特征。两个形状之间，[color=blue]如果存在一个连续变幻，使得一个形状可以变成另外一个，那么这两个形状就是等价的 （homeomorphic）[/color]。例如，一个圆形和一个方块，我们可以给圆形一个解析方程：
|x|^2 + |y|^2 = 1
[img]http://www.tugr.com/back_ground/introduction/circle_graph.gif[/img]
对于一个正方形，我们也可以给出一个解析方程： |x| + |y| = 1 (它的形状是把(0,1), (1,0), (0,-1)和(-1,0)四个点用直线连接起来的正方形). 从这个角度看，把一个圆形连续地变成一个方块，我们可以通过
|x|^a + |y|^a = 1
里面的参数 a, 把它从 2 逐渐地变换为 1。那么画成图我们就会看到那个圆逐渐的缩为顶点为(0,1), (1,0), (0,-1)和(-1,0)的正方形。这个等价定义看似非常自然，但它本身也有所谓的遗漏，这就是我以前说过的结现象。从连续性的角度上看，一个结何一个圆是没有任何区别的，但是我们很难想象怎么在不切不剪的情况下，完成这个转换。
[img]http://www.cis.upenn.edu/~mmcdouga/knot.gif[/img][img]http://www.math.toronto.edu/~drorbn/classes/0102/FeynmanDiagrams/NonObvious/Unknot.jpg[/img]
我们假设一只蚂蚁，围着我们的结跑一圈需要的时间是1. 也就是说，如果令 phi(t) 为蚂蚁在 t 时刻的位置，那么有 phi(0) = phi (1) = 起点/终点。其中当 t 从 0 连续变换成 1 的时候，我们的蚂蚁也连续地围着结绕了一圈。这说明，函数 phi: [0,1] ---> 结 是一个连续函数。这时候，我们假设一只蜗牛在一个复平面上，在同样的时间 t，它的位置是 psi(t) = e^(it) = cos(t) + i sin(t)。显然，psi(t) : [0,1] ---> 圆 也是一个连续函数。由于连续函数的逆函数是连续的，并且连续函数的叠加出来也是连续的，因此
F(x) = (phi o psi^(-1) ) (x)
是一个 F: 圆 ---> 结 的连续函数；其中 x 是圆上的任意元素，o 是函数叠加，psi^(-1)是 psi 的逆函数。由拓扑等价定义（homeomorphism），两者之间只要存在一个连续映射，那么它们就是等价的。因此，由于 F 的存在，一个结和一个圆，在拓扑上是没有区别的。

从上面的例子上看，仅仅把拓扑等价，理解为“在不撕破的情况下，可以把一个形状捏成另外一个形状”，其实是不准确的。但作为初学者，这么理解在大多数的情况还是没什么问题的，只是注意有时候会有反例出现就是了。那么下面我们讨论一下连续性在拓扑中到底是一个什么角色？拓扑的严格定义又是什么呢？

定义：一个拓扑空间就是一对集合：(X, O)，X 里的元素为拓扑空间的点，而 O 里的元素皆为 X 的子集，这些子集我们称之为“开集”。开集需要满足以下公理：
1。{X}, {空集} 皆开。
2。如果 A, B 是开集，那么 A U B 也是开集。
例如：X = {0,1,2}, O = {{空集}, {0}, {1}, {0, 1}, {0,1,2}}, 那么(X, O)就是一个拓扑空间。

定义：如果一个集合的反集是开集，那么我们称之为闭集。

定义：令(X, O), (Y, P)为两个拓扑空间，如果函数 f: X ---> Y，满足：对于每一个 Y 的开集 y, 集合 x = {u in X : f(u) in y} 也是开集。那么我们称 f 为一个连续函数。

换句话说，所谓[color=blue]连续函数是能保护拓扑结构的函数[/color]，而[color=blue]拓扑结构无非是一些我们“宣布”为开集的集合[/color]。另外，连续函数也受到拓扑结构的限制，一般来说，取值域的拓扑结构越细腻，f 就越容易是连续的。比如说，如果我们令 f: R_1 ---> R_2 ，f(x) = x，其中 R_1, R_2 都是实数。R_1 的拓扑结构 O_1 是由(a,b)这种开段来构成的, R_2 的拓扑结构 O_2 是实数的所有子集和。由于有理数集在 O_2 是开集，但在 O_1 不算开集，那么f(x) = x 在这个情况下就不是一个连续函数（经管画图看起来很连续）！如果我们反过来，考虑 f : R_2 ---> R_1，那么即便令 f(x) = I_Q (x) (I_Q (x) = 1 如果 x 是有理数，=0 如果 x 是无理数)，一个看起来很不连续的函数，在这个拓扑环境下它也是连续的。

从公理上看，拓扑结构目前不需要有人和几何意义，但拓扑结构在几何学中的应用是不可忽略的。因此，为了避免上面描述的一些“坏例子”，我们只考虑[color=blue]流形的拓扑特征[/color]。在19世纪莫，庞加莱等数学家们把二维封闭流形分为四种情况：
1。圆，2。面包圈，3。克兰瓶，4。投射面。图片按顺序如下：
[img]http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/sphere_1000.gif[/img][img]http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/HornTorusSolid_1000.gif[/img][img]http://www.umflint.edu/departments/math/images/klein_bottle.gif[/img][img]http://maven.smith.edu/~patela/boysurface/AmyJenny/Boys/pictures/boys_movie.gif[/img]
他还证明了，任意二维流形都可以写成这四种基本流星的“和”。例如，
[img]http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/UniversalCoverDoubleTorus_1000.gif[/img]
可以想成是两个面包圈的和。

(填坑中)

三。80年代的发展: Ricci flows.

(填坑中)

四。Perelman 的贡献。

(填坑中)

五。曹/朱的贡献

(填坑中)

六。和弦理论的关系

最后简单的说说该猜想和弦理论有什么关系。大体上说，在理论物理界中，有适合于微观世界的量子论和适合于宏观世界的广义相对论。这两个理论目前不容和，其中最不融合的就是引力部分。而如果我们要硬把他们放到一起的话，那么我们就会得出一些匪夷所思的计算预测，例如 Pr(某事件）= sqrt(-1)，两个引力子之间的作用力是无穷大，等等。所谓弦理论就是为了修饰这两者之间的不容和性。简单的说，弦理论假设了宇宙的最小单元是一根弦，而不是我们以前看到的电子/光子一类的点。这根弦是一个十维空间的物体，其中有三维空间是张性的，还有六维是结性的(knotted dimension)。这六维结性空间所产生的流形，我们称之为Calabi-Yau流形。其中华裔数学家丘成桐(Shing-Tung Yau)，就是此理论的奠基人之一。在弦理论中，在四大基本力中，只有引力子是一个关闭弦（G-String）。另外三种力的信号粒子：光子(E-String)，强力子(S-String)和弱力子(W-String)，都是以开弦的形式出现。我们现在所感兴趣的，引力子，就是一个关闭弦。而庞猜想告诉了我们，如何通过分析关闭弦的特征，来推出流行的宏观特征。换句话说，也许庞猜想的成立，是为我们以后探讨宇宙形状的一个里程碑！

(填坑中)

Appendix：数学上的严格定义

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-6-30 18:01 编辑 [/i]]

[color=Red]这里提到的“洞数”，如果把它严格化了之后，就是一个流形的“欧拉特征”[/color]
原来这个的“洞数”还有名字。

例子很直观，受教。等待续作。:^%:^%

[[i] 本帖最后由 lcarron78 于 2006-6-30 07:40 编辑 [/i]]

还有Appendix? 看来是个不浅的坑 加油

望续作

回复 #1 天宫公主 的帖子

跟过来了
好贴自然要顶
公主还顺便科普了一下什么是3维流形还有Riemannian Geometry:^%

说来我的专业和这个话题多少有些关系，只是侧重点有些不同罢了，我们对们寝室他们学几何的就已经组织讨论班读曹/朱的文章了

巧的是五月底的时候去开了一次会，遇见一个师兄现在是朱的博士后，他大致和我说了一下曹/朱的工作的事情，没想到回来没几天就发表了，还是非常令人振奋的。

提个小小建议，公主的第二个图片引的是wiki的，大陆这边看不见...

回复 #2 lcarron78 的帖子

高中数学里面学过的简单多面体的(顶点+面-边)=2里面的2就是简单多面体的Euler示性数

直观上看会导致单连通不成立的似乎只有“洞”，但实际情况据我所知要比这个复杂得多。

从数学定义上来说单连通指的是流形上任意条封闭曲线可以连续地收缩为一个点，或者任意两条曲线之间可以z找到一个连续的变化，或者用代数拓扑的语言，基本群是平凡群。

[quote]原帖由 [i]reynolds_wwy[/i] 于 2006-6-30 12:47 发表
跟过来了
好贴自然要顶
公主还顺便科普了一下什么是3维流形还有Riemannian Geometry:^%

说来我的专业和这个话题多少有些关系，只是侧重点有些不同罢了，我们对们寝室他们学几何的就已经组织讨论班读曹/朱的文 ... [/quote]
有时间还望多多切磋。我的目前的专业是金融工程，接触最多的是布朗运动/泊松过程这类东西。因为Ricci flows可以看作是布朗运动的一个推广，去年我就报名去了一个Clay Maths Institute 组织的 Ricci flows 的 short course.
[img]http://www.claymath.org/images/ricciposter_thumb.jpg[/img]
当时的主要授课人之一就是丘成桐的学生，田刚（现在田担任MIT教授）。在那个课程中，我突然发现怎么大家都在讲庞加莱猜想。后来我才发现原来当初搞Ricci flows 主要就是为解决这个问题的，而当时搞庞猜想的 Perelman 居然是个做弦理论的（我本科论文的课题就是弦理论）。本来感觉本科的课题和现在搞得没什么联系（一个理论物理，一个金融数学），突然发现它们两者之间竟然如此相似。在这种背景下，我才对庞猜想感觉比较独有情钟，没想到这么快就被彻底破解了。

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-6-30 13:09 编辑 [/i]]

看不太懂。三维以上的空间很难想象。

还是介绍一下解开这个猜想有什么实际意义吧，不会仅仅是为了那个百万美元的悬赏吧？

[quote]原帖由 [i]reynolds_wwy[/i] 于 2006-6-30 13:02 发表
高中数学里面学过的简单多面体的(顶点+面-边)=2里面的2就是简单多面体的Euler示性数

直观上看会导致单连通不成立的似乎只有“洞”，但实际情况据我所知要比这个复杂得多。
[/quote]

这个就要看你的基础域是什么了。如果是实流形（切面空间和流形之间的映射，是一个实变量可微函数），的确存在其他情况导致单连通不成立。但如果我们看复数解析流形(complex analytic manifolds - 切面空间和流形之间的映射，是一个复变量解析函数)，那么“洞”就是导致单连通不成立的唯一可能了。这方面的另一个相关定理就是 Riemann-Roch 定理，它可以被理解是欧拉特征的某个推广版。

[[i] 本帖最后由 天宫公主 于 2006-6-30 13:22 编辑 [/i]]

回复 #6 天宫公主 的帖子

[color=Red]我的目前的专业是金融工程，接触最多的是布朗运动/泊松过程这类东西。[/color]

以前读过一个有关金融的布朗运动的统计科目,当时没下工夫,都忘得差不多了.

回复 #8 天宫公主 的帖子

呵呵这个学期接触了点complex manifolds的东西
其实正确的说法是每一个n维的complex manifold（复流形）都可以看成是2n维的实流形，但反之则不然，
道理很简单，complex manifold要求坐标邻域之间的gluing（或者坐标变换）是holomorphic（全纯的），但实流形的情形只要求是smooth（光滑）的，前者是后者的充分条件

才注意到本篇文章的副标题，在[color=Red]中国突然热起来的[/color]一个数学/物理话题

为什么会突然热起来？国人对数学和物理的兴趣可不会突然增加......

天宫公主爱好数学物理，我很想贯彻首屠说的，认真看帖要要认真回，但我的数学实在太差，看了就如看天书。

严重的看不懂。

拜拜看的懂的前辈们。

俺闪！

[quote]原帖由 [i]crayfish[/i] 于 2006-6-30 19:35 发表
才注意到本篇文章的副标题，在[color=Red]中国突然热起来的[/color]一个数学/物理话题

为什么会突然热起来？国人对数学和物理的兴趣可不会突然增加...... [/quote]


你不知道吗？某个中国籍教授破解了这个猜想。

当年陈景润破解歌德巴赫的时候不也一样。

一阵风而已。

回复 #14 谁认识我 的帖子

不一样的
Goldbach猜想做的人很少而且即使做出来了对相关学科的影响也不大
Poincare猜想则不然

是的，数论方面的代表性问题是黎曼猜想；庞加莱猜想则是几何方面的第一问题。

写得不错，:^%

期待填满

支持公主继续写。:^%:^%:D:D
等着看呢。

姐姐这个坑准备多久填好？
当初你那个物理大坑还没填好呢 ^0^

这个庞加莱猜想
按我目前的学识
真是看得有点晕 :blink:

现在对朱/曹的工作学界也没有一个统一的评价，等等吧

[quote]原帖由 [i]reynolds_wwy[/i] 于 2006-7-5 21:28 发表
现在对朱/曹的工作学界也没有一个统一的评价，等等吧 [/quote]

是的，所以感觉写不下去了。:ph34r:

争取先把 Perelman 的那部分的科学观点写完，但可能先不做任何主观评论。在这个时候，任何主观评论都是不负责的。

顶顶，别沉了。

顶一下!

完全看不懂了……果然不是学数学的……

中国队再获国际数学奥赛团体总分第一

　　新华网贝尔格莱德7月17日电(记者 连国辉) 卢布尔雅那消息：第47届国际数学奥林匹克竞赛17日在斯洛文尼亚首都卢布尔雅那落下帷幕。中国队6名参赛选手全部获得金牌，并以总分214分再次获得团体总分第一名。俄罗斯队和韩国队分别以174分和170分获第二和第三名。

　　在本届比赛中，所有参赛队共有42人获得金牌，93人获银牌，99人获铜牌。中国队以超过第二名40分的较大优势获得总分第一名。

　　90个国家和地区的498名选手参加了本届赛事。中国香港、澳门、台湾也派队参加了比赛，分别获得1金3银2铜、2铜和1金5银的较好成绩。

　　国际数学奥林匹克竞赛每年选在不同的国家和地区举行，是为全球高中学生举办的世界最高水平的数学赛事。自1986年以来，中国队已累计13次获得国际奥林匹克数学竞赛团体总分第一名。(完)

丘成桐等数学家炮轰“奥赛”特权

　　日前在杭州举行的“中国数学科学与教育发展论坛”上，哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐呼吁，国内大学应尽快改变招生时让“奥赛”金牌选手免试入学的做法，因为正是这种选拔制度，引发了“奥赛”的“全国性疯狂”。

　　丘成桐的呼吁得到与会各位数学家的响应。“我认为‘奥赛’是用来激发学生兴趣的，是引起大家关注数学的一个渠道，应该是一种很好的业余活动、课外活动。但现在的情况却是本末倒置，大家把金牌看作最后的目标。”中科院院士王元曾担任过很多届国家数学奥林匹克竞赛的主席，然而现状却令他痛心：不计其数的中学生在参加“奥赛”训练，连很多小学生也要在周末去上“奥赛”课。

　　“中国虽然有很多国际奥赛金牌的得主，但他们是经过几个月强化训练的，由此获得的好成绩不能说明问题。”中科院院士杨乐说，“训练过多的解题技巧对一个人数学水平的提高并没有太大帮助。” 据新华社

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以上两篇均转自新浪。题目不大我就不开新贴了。
这个“奥赛”的“全国性疯狂”。什么不计其数的中学生在参加“奥赛”训练，连很多小学生也要在周末去上“奥赛”课。
个人感触颇深啊，虽然浪费了很多的时间，但:q))+的同时细想想也有所得，至少我可以看得懂公主的这篇文章。

[[i] 本帖最后由 林冲 于 2006-7-18 05:49 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]谁认识我[/i] 于 2006-6-30 22:29 发表



你不知道吗？某个中国籍教授破解了这个猜想。

当年陈景润破解歌德巴赫的时候不也一样。

一阵风而已。 [/quote]
最近的一次还不是陈景润，好像是某人发现了MD5的碰撞吧…………
帖子发在这儿就是讨论这方面的。如果发在射虎就是讨论数学性了。

[quote]原帖由 [i]林冲[/i] 于 2006-7-18 05:42 发表
　　日前在杭州举行的“中国数学科学与教育发展论坛”上，哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐呼吁，国内大学应尽快改变招生时让“奥赛”金牌选手免试入学的做法，因为正是这种选拔制度，引发了“奥赛” ... [/quote]
这就是中国教育的现状~~
我也是学竞赛（虽然不主攻数学）的学生，马上要高二了~
其实某种程度上讲竞赛对于[glow=255,red,2]考试[/glow]是有益处的~
至少当你在高一就把高中课学完时应付平常的考试就像玩了~~
况且参加竞赛还有一定几率能绕过高考~~
对于我们来讲，反正补课不可避免，说学奥赛还显得倍儿有面子，何乐而不为？

巨郁闷。。。。。。。。。。看来要学好点了~~~~~~~~不过当然要顶~！~！~！

看不太懂

术业有专攻，这个不强求每人都要懂。:hz1022:
几何就非我所长.:hz1026:

看了一些入门，期待续作:hz1020: